如图所示,O为坐标原点,过点P(2,0)且斜率为k的直线L交抛物线y=2x于M(x,y),N(x,y)两点. ⑴写出直线L的方程;⑵求xx与yy的值;⑶求证:O
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如图所示,O为坐标原点,过点P(2,0)且斜率为k的直线L交抛物线y=2x于M(x,y),N(x,y)两点. ⑴写出直线L的方程;⑵求xx与yy的值;⑶求证:O
题型:不详
难度:
来源:
如图所示,O为坐标原点,过点P(2,0)且斜率为k的直线L交抛物线y
=2x于M(x
,y
),N(x
,y
)两点. ⑴写出直线L的方程;⑵求x
x
与y
y
的值;⑶求证:OM⊥ON
答案
⑴直线L方程为y=k(x-2)
⑵x
x
=4,y
y
=-4
(3)根据已知中直线的方程意义抛物线的方程联立方程组,结合斜率公式来表示求证。
解析
试题分析:解:
⑴
(Ⅰ)解:直线l过点P(2,0)且斜率为k,故可直接写出直线l的方程为y=k(x-2) (k≠0)①
(Ⅱ)解:由①及y
2
=2x消去y代入可得k
2
x
2
-2(k
2
+1)x+4k
2
=0.②则可以分析得:点M,N的横坐标x
1
与x
2
是②的两个根,由韦达定理得x
1
x
2
由韦达定理得x
1
x
2
=
=4.又由y
1
2
=2x
1
,y
2
2
=2x
2
得到(y
1
y
2
)
2
=4x
1
x
2
=4×4=16,又注意到y
1
y
2
<0,所以y
1
y
2
=-4.(Ⅲ)证明:设OM,ON的斜率分别为k
1
,k
2
,则k
=
,k
=
.相乘得k
k
=
=-1
OM⊥ON
所以证得:OM⊥ON.
点评:主要是考查了抛物线的方程以及性质和直线与抛物线的位置关系,属于基础题。
举一反三
已知椭圆
的离心率为
.双曲线
的渐近线与椭圆
有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆
的方程为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的离心率为
,直线
过点
,
,且与椭圆
相切于点
.(Ⅰ)求椭圆
的方程;(Ⅱ)是否存在过点
的直线
与椭圆
相交于不同的两点
、
,使得
?若存在,试求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已经双曲线x
-m
y
=m
(m>0)的一条渐近线与直线2x-y+3=0垂直,则该双曲线的准线方程为
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
题型:不详
难度:
|
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设抛物线C的方程为y
=4x,O为坐标原点,P为抛物线的准线与其对称轴的交点,过焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于M、N两点,若直线PM与ON相交于点Q,则cos∠MQN=
A.
B.-
C.
D.-
题型:不详
难度:
|
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如图,已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
、F
,A是椭圆C上的一点,AF
⊥F
F
,O是坐标原点,OB垂直AF
于B,且OF
=3OB.
(Ⅰ)求椭圆C的离心率;
(Ⅱ)求t∈(0,b),使得命题“设圆x
+y
=t
上任意点M(x
,y
)处的切线交椭圆C于Q
、Q
两点,那么OQ
⊥OQ
”成立.
题型:不详
难度:
|
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