试题分析:(1) 设双曲线的方程为,则. 由,得,即. ∴ 3分 解之得,∴. ∴双曲线的方程为. 5分 (2) 设在轴上存在定点,使. 设直线的方程为,. 由,得. 即 ① 6分 ∵,, ∴. 即. ② 8分 把①代入②,得 ③ 9分 把代入并整理得 其中且,即且. . 10分 代入③,得,化简得 .当时,上式恒成立. 因此,在轴上存在定点,使. 13分 点评:难题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题(1)求双曲线方程时,应用了双曲线的定义及其几何性质,难度不大,较为典型。(2)则在应用韦达定理的基础上,通过平面向量的坐标运算,达到证明目的。 |