试题分析:(Ⅰ)因为动圆P过定点A(1,0),且与直线x=-1相切, 所以圆心P到点A(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等。 根据抛物线定义,知动点P的轨迹为抛物线,且方程为C:。 4分 (Ⅱ)设直线l的方程为,(易知斜率不存在的直线不符合要求) 由,消去y得, 由题意,得k≠0,且,化简得km=1。 6分 设直线l与曲线C相切的切点P(x0,y0), 则 所以, 由。 8分 若取k=1,m=1,此时P(1,2),Q(-1,0),以PQ为直径的圆为,交x轴于点M1(1,0),M2(-1,0); 若取,此时以PQ为直径的圆为 ,交x轴于点M3(1,0),M4。 所以若符合条件的点M存在,则点M的坐标必为(1,0)。(即为点A) 10分 以下证明M(1,0)就是满足条件的点。 因为M的坐标为(1,0), 所以, 11分 从而, 故恒有, 即在x轴上存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M。 14分 点评:第一问用定义法求动点的轨迹方程是圆锥曲线题目经常出现的类型,第二问证明动圆过定点先通过两个特殊圆找到过的定点,进而证明此点在任意的以PQ为直径的圆上 |