试题分析:由EF与线段BD相交,可知点E、F位于直线BD的两侧,因此有两种情形: ①点E在线段AB上,点F在线段AD延长线上,依题意画出图形,如图所示:
过点E作EM⊥AB,交BD于点M,则EM∥AF,△BEM为等腰直角三角形, ∵EM∥AF,∴∠EMG=∠FDG,∠GEM=∠F。 ∵△BEM为等腰直角三角形,∴EM=BE。 ∵BE=DF,∴EM=DF。 ∵在△EMG与△FDG中,EM=DF,∠EMG=∠FDG,∠GEM=∠F, ∴△EMG≌△FDG(ASA)。 ∴EG=FG,即G为EF的中点。 ∴EF=2AG=2(直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半)。 设BE=DF=x,则AE=3﹣x,AF=3+x, 在Rt△AEF中,由勾股定理得:AE2+AF2=EF2,即(3﹣x)2+(3+x)2=(2)2。 解得x=1,即BE=DF=1。∴AE=2,AF=4。∴tan∠F=。 设EF与CD交于点K,则在Rt△DFK中,DK=DF•tan∠F=, ∴CK=CD﹣DK=。 ∵AB∥CD,∴△AEH≌△CKH,∴。 ∵AC=AH+CH=3,∴AH=AC=。 过点H作HN∥AE,交AD于点N,则△ANH为等腰直角三角形, ∴AN=AH=。 ∵HN∥AE,∴,即。∴EH=。 ②点E在线段AB的延长线上,点F在线段AD上,依题意画出图形,如图所示,
同理可求得:EH=。 综上所述,线段EH的长为或。 |