已知焦点在轴上的椭圆过点,且离心率为,为椭圆的左顶点.(1)求椭圆的标准方程;(2)已知过点的直线与椭圆交于,两点.① 若直线垂直于轴,求的大小;② 若直线与轴

已知焦点在轴上的椭圆过点,且离心率为,为椭圆的左顶点.(1)求椭圆的标准方程;(2)已知过点的直线与椭圆交于,两点.① 若直线垂直于轴,求的大小;② 若直线与轴

题型:不详难度:来源:
已知焦点在轴上的椭圆过点,且离心率为,为椭圆的左顶点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知过点的直线与椭圆交于两点.
① 若直线垂直于轴,求的大小;
② 若直线轴不垂直,是否存在直线使得为等腰三角形?如果存在,求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ).
(Ⅱ)(ⅰ)当直线垂直于轴时,直线的方程为.
(ⅱ)当直线轴不垂直时,不存在直线使得为等腰三角形.
解析

试题分析:(Ⅰ)设椭圆的标准方程为,且.
由题意可知:.             2分
解得.            
∴ 椭圆的标准方程为.           3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.设.
(ⅰ)当直线垂直于轴时,直线的方程为.
 解得:
(不妨设点轴上方).        5分
则直线的斜率,直线的斜率.
,得 .
.                 6分
(ⅱ)当直线轴不垂直时,由题意可设直线的方程为.
消去得:.
因为 点在椭圆的内部,显然.
          8分
因为
所以


.
∴ .    即为直角三角形.                   11分
假设存在直线使得为等腰三角形,则.
的中点,连接,则.
记点.

另一方面,点的横坐标
∴点的纵坐标.

不垂直,矛盾.
所以 当直线轴不垂直时,不存在直线使得为等腰三角形.              13分
点评:中档题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题求椭圆、标准方程时,主要运用了椭圆的几何性质。解题过程中,运用平面向量的数量积,“化证为算”,达到证明目的。
举一反三
设平面区域D是由双曲线的两条渐近线和抛物线y2 ="-8x" 的准线所围成的三角形(含边界与内部).若点(x,y) ∈ D,则x+ y的最小值为
A.-1B.0C.1D.3

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如图,椭圆的中心在坐标原点0,顶点分别是A1, A2, B1, B2,焦点分别为F1 ,F2,延长B1F2 与A2B2交于P点,若为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为
A.(0,B.(,1)
C.(0,D.(,1)

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设A、B为在双曲线上两点,O为坐标原点.若=0,则ΔAOB面积的最小值为______
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(本小题满分12分)
已知点F( 1,0),与直线4x+3y + 1 =0相切,动圆M与及y轴都相切. (I )求点M的轨迹C的方程;(II)过点F任作直线l,交曲线C于A,B两点,由点A,B分别向各引一条切线,切点 分别为P,Q,记.求证是定值.
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已知抛物线的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,且,垂足为A,若直线AF的斜率为,则|PF|等于( )
A.B.4C.D.8

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