解:(Ⅰ)直线AB、AC、BC的方程依次为 。点 到AB、AC、BC的距离依次为 。依设, ,即 ,化简得点P的轨迹方程为 圆S: ………5分 (Ⅱ)由前知,点P的轨迹包含两部分 圆S: ① 与双曲线T: ②
的内心D也是适合题设条件的点,由 ,解得 ,且知它在圆S上。直线L经过D,且与点P的轨迹有3个公共点,所以,L的斜率存在,设L的方程为
③ (i)当k=0时,L与圆S相切,有唯一的公共点D;此时,直线 平行于x轴,表明L与双曲线有不同于D的两个公共点,所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 …………8分 (ii)当 时,L与圆S有两个不同的交点。这时,L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况: 情况1:直线L经过点B或点C,此时L的斜率 ,直线L的方程为 。代入方程②得 ,解得 。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E;直线CD与曲线T有2个交点C、F。 故当 时,L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 …………11分 情况2:直线L不经过点B和C(即 ),因为L与S有两个不同的交点,所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组 有且只有一组实数解,消去y并化简得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026032834-85701.gif) 该方程有唯一实数解的充要条件是 ④ 或 ⑤ 解方程④得 ,解方程⑤得 。 综合得直线L的斜率k的取值范围 。 ………14分 |