（本小题共14分）已知椭圆的焦点是,,点在椭圆上且满足.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆的交点为，.(i)求使 的面积为的点的个数；(ii)设为椭圆上

题型：不详难度：来源：

（本小题共14分）
已知椭圆的焦点是,,点在椭圆上且满足.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆的交点为，.
(i)求使 的面积为的点的个数；
(ii)设为椭圆上任一点，为坐标原点，，求的值.

答案

（Ⅰ）（Ⅱ）(i)符合条件的点有2个(ii)

解析

（Ⅰ）∵>
∴点满足的曲线的方程为椭圆
∵
∴
∴椭圆的标准方程为.                 …………4分
（Ⅱ）(i)∵ 直线与椭圆的交点为，
∴,
若
∴
∵原点到直线的距离是
∴在直线的右侧有两个符合条件的点
设直线与椭圆相切，则
有且只有一个交点
∴有且只有一个解
由解得（设负）
此时，与间距离为
∴在直线的左侧不存在符合条件的点
∴符合条件的点有2个.            ………………10分
(ii)设，则满足方程：
∵ 
∴
即：，从而有
∴.         ……………14分