(本题满分16分,第(1)小题4分,第(2)小题8分,第(3)小题4分)已知椭圆的左右焦点分别为,短轴两个端点为,且四边形是边长为2的正方形。(1)求椭圆方程;

(本题满分16分,第(1)小题4分,第(2)小题8分,第(3)小题4分)已知椭圆的左右焦点分别为,短轴两个端点为,且四边形是边长为2的正方形。(1)求椭圆方程;

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(本题满分16分,第(1)小题4分,第(2)小题8分,第(3)小题4分)
已知椭圆的左右焦点分别为,短轴两个端点为,且四边形是边长为2的正方形。
(1)求椭圆方程;
(2)若分别是椭圆长轴的左右端点,动点满足,连接,交椭圆于。证明:为定值;
(3)在(2)的条件下,试问轴上是否存在异于点的定点,使得以为直径的圆恒过直线的交点,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由。
答案

解析
(1)椭圆方程为
…………………………………………………………4分
(2),设,则
直线,即,……………………………6分
代入椭圆
。……………………………………………8分

,………………………………………………10分
(定值)。
…………………………………………………………12分
(3)设存在满足条件,则
,…………………………14分
则由得 ,从而得
存在满足条件。…………………………………………………………16分
举一反三
(本题满分18分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(2)小题8分)
已知双曲线C:的一个焦点是,且
(1)求双曲线C的方程;
(2)设经过焦点的直线的一个法向量为,当直线与双曲线C的右支相交于不同的两点时,求实数的取值范围;并证明中点在曲线上。
(3)设(2)中直线与双曲线C的右支相交于两点,问是否存在实数,使得为锐角?若存在,请求出的范围;若不存在,请说明理由。
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双曲线-=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则r=     (   )
A.B.2 C.3D.6

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(本小题满分12分)
已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率e=,且椭圆经过点N(2,-3).
(1)求椭圆C的方程;
(2)求椭圆以M(-1,2)为中点的弦所在直线的方程.
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设P是椭圆上一点,M,N分别是两圆:上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为             (   )
A.4,8B.2,6C.6,8D.8,12

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(本题满分18分,其中第1小题6分,第2小题4分,第3小题8分)
现有变换公式可把平面直角坐标系上的一点变换到这一平面上的一点.
(1)若椭圆的中心为坐标原点,焦点在轴上,且焦距为,长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆的标准方程,并求出其两个焦点经变换公式变换后得到的点的坐标;
(2) 若曲线上一点经变换公式变换后得到的点与点重合,则称点是曲线在变换下的不动点. 求(1)中的椭圆在变换下的所有不动点的坐标;
(3) 在(2)的基础上,试探究:中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的椭圆和双曲线在变换下的不动点的存在情况和个数.
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