已知椭圆W的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为,过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、,点关
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已知椭圆W的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为,过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、,点关
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆W的中心在原点,焦点在
轴上,离心率为
,两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为
,过左准线与
轴的交点
任作一条斜率不为零的直线
与椭圆W交于不同的两点
、
,点
关于
轴的对称点为
.
(Ⅰ)求椭圆W的方程;
(Ⅱ)求证:
(
);
(Ⅲ)求
面积
的最大值.
答案
(Ⅰ)椭圆W的方程为
(Ⅱ)见解析
(Ⅲ)
面积
的最大值为
解析
(Ⅰ)设椭圆W的方程为
,由题意可知
解得
,
,
,
所以椭圆W的方程为
.……………………………………………4分
(Ⅱ)解法1:因为左准线方程为
,所以点
坐标为
.于是可设直线
的方程为
.
得
.
由直线
与椭圆W交于
、
两点,可知
,解得
.
设点
,
的坐标分别为
,
,
则
,
,
,
.
因为
,
,
所以
,
.
又因为
,
所以
. ……………………………………………………………10分
解法2:因为左准线方程为
,所以点
坐标为
.
于是可设直线
的方程为
,点
,
的坐标分别为
,
,
则点
的坐标为
,
,
.
由椭圆的第二定义可得
,
所以
,
,
三点共线,即
.…………………………………10分
(Ⅲ)由题意知
,
当且仅当
时“=”成立,
所以
面积
的最大值为.
举一反三
如图,椭圆的中心在原点,其左焦点
与抛物线
的焦点重合,过
的直线
与椭圆交于
A
、
B
两点,与抛物线交于
C
、
D
两点.当直线
与
x
轴垂直时,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(II)求过点O、
,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程;
(Ⅲ)求
的最大值和最小值.
题型:不详
难度:
|
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在面积为9的
中,
,且
。现建立以A点为坐标原点,以
的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系,如图所示。
(1)求AB、AC所在的直线方程;
(2)求以AB、AC所在的直线为渐近线且过点D的双曲线的方程;
(3)过D分别作AB、AC所在直线的垂线DF、DE(E、F为垂足),求
的值。
题型:不详
难度:
|
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设椭圆C:
的左焦点为F,上顶点为A,过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P,交
x
轴正半轴于点Q,且
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若过A、Q、F三点的圆恰好与直线
l
:
相切,求椭圆C的方程.
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系
中,过定点
作直线与抛物线
(
)相交于
两点.
(I)若点
是点
关于坐标原点
的对称点,求
面积的最小值;
(II)是否存在垂直于
轴的直线
,使得
被以
为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出
的方程;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系
xOy
中,已知点
A
(-1, 0)、
B
(1, 0), 动点
C
满足条件:△
ABC
的周长为2+2
.记动点
C
的轨迹为曲线
W
.
(Ⅰ)求
W
的方程;
(Ⅱ)经过点(0,
)且斜率为
k
的直线
l
与曲线
W
有两个不同的交点
P
和
Q
,
求
k
的取值范围;
(Ⅲ)已知点
M
(
,0),
N
(0, 1),在(Ⅱ)的条件下,是否存在常数
k
,使得向量
与
共线?如果存在,求出
k
的值;如果不存在,请说明理由.
题型:不详
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|
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