已知椭圆的一条准线方程是其左、右顶点分别是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x－5y=0.（Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线

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已知椭圆的一条准线方程是其左、右顶点分别是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x－5y=0.
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程及双曲线C₂的离心率；
（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C₂上一点P，连结AP交椭圆C₁于点M，连结PB并延长交椭圆C₁于点N，若. 求证：

答案

（I）双曲线的离心率
（Ⅱ）证明见解析

解析

（I）由已知
∴椭圆的方程为，双曲线的方程.
又 ∴双曲线的离心率
（Ⅱ）由（Ⅰ）A（－5，0），B（5，0） 设M得M为AP的中点
∴P点坐标为  将M、p坐标代入c₁、c₂方程得
消去y₀得  解之得
由此可得P（10，
当P为（10， 时   PB： 即
代入
   MN⊥x轴    即