(本题满分12分)平面直角坐标系中,为坐标原点,给定两点,点满足   ,其中,且.  (1)求点的轨迹方程;(2)设点的轨迹与双曲线交于两点,且以为直径的圆过原

(本题满分12分)平面直角坐标系中,为坐标原点,给定两点,点满足   ,其中,且.  (1)求点的轨迹方程;(2)设点的轨迹与双曲线交于两点,且以为直径的圆过原

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(本题满分12分)平面直角坐标系中,为坐标原点,给定两点,点满足   ,其中,且.  (1)求点的轨迹方程;(2)设点的轨迹与双曲线交于两点,且以为直径的圆过原点,求证:为定值;(3)在(2)的条件下,若双曲线的离心率不大于,求双曲线实轴长的取值范围.
答案
(Ⅰ)   (Ⅱ)  2 (Ⅲ)(0,1
解析

解.(1)设,因为,则
所以即点的轨迹方程为 ---    3分
(2)  明:由
,则
因为以为直径的圆过原点,所以
化简得----8分
(3)  因为,所以  因为
所以双曲线实轴长的取值范围是(0,1——12分
举一反三
(本题满分12分)已知分别是椭圆的左右焦点,其左准线与轴相交于点N,并且满足,设A、B是上半椭圆上满足的两点,其中.(1)求此椭圆的方程;(2)求直线AB的斜率的取值范围.
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(本小题满分13分)椭圆的左、右焦点分别为F1F2,过F1的直线l与椭圆交于AB两点.(Ⅰ)如果点A在圆c为椭圆的半焦距)上,且|F1A|=c,求椭圆的离心率;(Ⅱ)若函数的图象,无论m为何值时恒过定点(ba),求的取值范围.
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与圆外切,且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为         .
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AB为双曲线上的两个动点,满足。(Ⅰ)求证:为定值; (Ⅱ)动点P在线段AB上,满足,求证:点P在定圆上.
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已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为,则双曲线的标准方程是____________________.
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