(本小题满分14分)设,椭圆方程为,抛物线方程为.如图6所示,过点作轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为,已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点.(1)求满足条
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(本小题满分14分)设,椭圆方程为,抛物线方程为.如图6所示,过点作轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为,已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点.(1)求满足条
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分14分)
设
,椭圆方程为
,抛物线方程为
.如图6所示,过点
作
轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为
,已知抛物线在点
的切线经过椭圆的右焦点
.
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
(2)设
分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点
,使得
为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).
答案
(1)由
得
当
时,
,
点的坐标为
,
过点
的切线方程为
,即
,
令
得
,
点的坐标为
;
由椭圆方程得
点的坐标为
,
,即
,
因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为
和
.
(2)
过
作
轴的垂线与抛物线只有一个交点
,
以
为直角的
只有一个,
同理以
为直角的
只有一个;
若以
为直角,设
点的坐标为
,则
坐标分别为
由
得
,
关于
的一元二次方程有一解,
有二解,即以
为直角的
有二个;
因此抛物线上共存在4个点使
为直角三角形.
解析
考查椭圆的、抛物线的方程,图形及其简单的几何性质,直线和圆锥曲线的位置关系,运算能力,分析、解决问题的能力.
举一反三
(本小题满分16分)已知F
1
(-c,0), F
2
(c,0) (c>0)是椭圆的两个焦点,O为坐标原点,圆M的方程是
.
(1)若P是圆M上的任意一点,求证:
是定值;
(2)若椭圆经过圆上一点Q,且cos∠F
1
QF
2
=
,求椭圆的离心率;
(3)在(2)的条件下,若|OQ|=
,求椭圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当
时,其离心率为
,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于
▲
题型:不详
难度:
|
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如图,已知点P(3,0),点A,B分别在
x
轴负半轴和y轴上,且
当点B在y轴上移动时记点C的轨迹为E.(Ⅰ)求曲线E的方程;(Ⅱ)已知向量
为方向向量的直线
l
交曲线E于不同的两点M,N,若D(-1,0),
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
已知椭圆
上任意一点到两焦点距离之和为4,直线
为该椭圆的一条准线.
1)求椭圆C的方程;
2)设直线
与椭圆C交于不同的两点
且
(其中
为坐标原点),求直线
的斜率
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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(本题15分)已知曲线
C
是到点
和到直线
距离相等的点的轨迹,
l
是过点
Q
(-1,0)的直线,
M
是
C
上(不在
l
上)的动点;
A、B
在
l
上,
轴(如图)。
(Ⅰ)求曲线
C
的方程;
(Ⅱ)求出直线
l
的方程,使得
为常数。
题型:不详
难度:
|
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