若椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为25,且过点(-3,2),⊙O的圆心为原点,直径为椭圆的短轴,⊙M的方程为(x-8)2+(y-6)2=4,

若椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为25,且过点(-3,2),⊙O的圆心为原点,直径为椭圆的短轴,⊙M的方程为(x-8)2+(y-6)2=4,

题型:不详难度:来源:
若椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦距为2


5
,且过点(-3,2),⊙O的圆心为原点,直径为椭圆的短轴,⊙M的方程为(x-8)2+(y-6)2=4,过⊙M上任一点P作⊙O的切线PA、PB,切点为A、B.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线PA与⊙M的另一交点为Q,当弦PQ最大时,求直线PA的直线方程;
(3)求


OA


OB
的最大值.
答案
(1)由椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦距为2


5
,且过点(-3,2),∴





9
a2
+
4
b2
=1
2c=2


5
a2=b2+c2

解得





c=


5
b2=10
a2=15

∴椭圆的方程为
x2
15
+
y2
10
=1

(2)∵⊙O的圆心为原点,直径为椭圆的短轴,∴⊙O的方程为x2+y2=10.
当弦PQ最大时,即PQ是⊙M的直径,
设直线PA的方程为y-6=k(x-8),即kx-y+6-8k=0.
∵直线PA与⊙O相切,∴点O到直线PA的距离d=


10

|6-8k|


k2+1
=


10
,解得k=
1
3
13
9

∴直线PA的方程为
1
3
x-y+6-
8
3
=0
,或
13
9
x-y+6-
104
9
=0

化为x-3y+10=0,或13x-9y-50=0.
(3)设∠AOB=2θ,∵θ∈(0,
π
2
)
,∴2θ∈(0,π).


OA


OB
=|


OA
||


OB
|cos∠AOB
=10cos2θ,
∵2θ∈(0,π),∴cos2θ在θ∈(0,
π
2
)
上单调递减,
因此当θ取得最小值时,cos2θ取得最大值.
∵cosθ=


10
OP
,∴当OP取得最小值时,cosθ取得最大值.
当P点取OM与⊙M的交点时,OP取得最小值.
又|OP|=|OM|-2=


62+82
-2
=8.
cosθ=


10
8
,cos2θ=2cos2θ-1=-
11
16



OA


OB
取得最大值10×(-
11
16
)
=-
55
8
举一反三
已知点B(0,1),A,C为椭圆C:
x2
a2
+y2
=1(a>1)上的两点,△ABC是以B为直角顶点的直角三角形.
(1)△ABC能否为等腰三角形?若能,这样的三角形有几个?
(2)当a=2时,求线段AC的中垂线l在x轴上截距的取值范围.
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过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点,以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是(  )
A.相交B.相切
C.相离D.与p的取值相关
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已知点F(1,0),直线L:x=-1,P为平面上的动点,过点P作直线L的垂线,垂足为Q,且


QP


QF
=


FP


FQ

(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有


FA


FB
<0
?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
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已知双曲线的两条渐近线方程是y=x和y=-x,且过点D(


2


3
)
.l1,l2是过点P(-


2
,0)
的两条互相垂直的直线,且l1,l2与双曲线各有两个交点,分别为A1,B1和A2,B2
(1)求双曲线的方程;
(2)求l1斜率的范围
(3)若|A1B1|=


5
|A2B2|
,求l1的方程.
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如图,从椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,又点A是椭圆与x轴正半轴的交点,点B是椭圆与y轴正半轴的交点,且ABOP,|F1A|=


10
+


5

(1)求椭圆E的方程.
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点C,D,且


OC


OD
?若存在,写出该圆的方程,并求|CD|的取值范围;若不存在,说明理由.
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