已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的离心率为22,F1,F2为其焦点,一直线过点F1与椭圆相交于A、B两点,且△F2AB的最大面积为2,求椭圆的方程.
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已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的离心率为22,F1,F2为其焦点,一直线过点F1与椭圆相交于A、B两点,且△F2AB的最大面积为2,求椭圆的方程.
题型:不详
难度:
来源:
已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的离心率为
2
2
,F
1
,F
2
为其焦点,一直线过点F
1
与椭圆相交于A、B两点,且△F
2
AB的最大面积为
2
,求椭圆的方程.
答案
由e=
2
2
得
a:b:c=
2
:1:1
,所以椭圆方程设为x
2
+2y
2
=2c
2
设直线AB:x=my-c,由
x=my-c
x
2
+2
y
2
=2
c
2
得:(m
2
+2)y
2
-2mcy-c
2
=0
∴△=4m
2
c
2
+4c
2
(m
2
+2)=4c
2
(2m
2
+2)=8c
2
(m
2
+1)>0
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则y
1
,y
2
是方程的两个根
由韦达定理得
y
1
+
y
2
=
2mc
m
2
+2
y
1
y
2
=-
c
2
m
2
+2
,所以
|
y
1
-
y
2
|=
(
y
1
+
y
2
)
2
-4
y
1
y
2
=
2
2
c
m
2
+1
m
2
+2
∴
S
△AB
F
2
=
1
2
|
F
1
F
2
||
y
1
-
y
2
|=c•2
2
c
m
2
+1
m
2
+2
=
2
2
c
2
m
2
+1
+
1
m
2
+1
≤2
2
c
2
•
1
2
=
2
c
2
当且仅当m=0时,即AB⊥x轴时取等号
∴
2
c
2
=
2
,c=1
∴所求椭圆方程为
x
2
2
+
y
2
=1
举一反三
若直线y=-x+m与曲线y=
5-
1
4
x
2
只有一个公共点,则m的取值范围是( )
A.-1≤m<2
B.-
2
5
≤m≤2
5
C.-2≤m<2或m=5
D.-
2
5
≤m≤2
5
或m=5
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左右焦点为F
1
,F
2
,离心率为
2
2
,以线段F
1
F
2
为直径的圆的面积为π,设直线l过椭圆的右焦点F
2
(l不垂直坐标轴),且与椭圆交于A、B两点,
(1)求椭圆的方程;
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,0),试求m的取值范围;
(3)求△ABF
1
面积的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
C
1
:
x
2
2
+
y
2
=1
和圆
C
2
:
x
2
+
y
2
=1
,左顶点和下顶点分别为A,B,且F是椭圆C
1
的右焦点.
(1)若点P是曲线C
2
上位于第二象限的一点,且△APF的面积为
1
2
+
2
4
,求证:AP⊥OP;
(2)点M和N分别是椭圆C
1
和圆C
2
上位于y轴右侧的动点,且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍,求证:直线MN恒过定点.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C:y
2
=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A,B两点,若线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4,则p的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为
3
直线与抛物线在x轴上方的交点为M,过M作y轴的垂线,垂足为N,O为坐标原点,若四边形OFMN的面积为
4
3
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若P,Q是抛物线上异于原点O的两动点,且以线段PQ为直径的圆恒过原点O,求证:直线PQ过定点,并指出定点坐标.
题型:不详
难度:
|
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