(1)∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(,0), ∴过F且斜率为直线方程为y=(x-), 联立,得12x2-20px+3p2=0, 解得x=p,或x=, ∵直线与抛物线在x轴上方的交点为M, ∴M(p,p), ∵过M作y轴的垂线,垂足为N,O为坐标原点,四边形OFMN的面积为4, ∴(+)×p=4,解得p=2, ∴抛物线的方程y2=4x. (2)证明:①当直线PQ的斜率不存在时,设直线PQ的方程为y=x0,x0>0, 则x0=2,解得x0=4,直线PQ过定点(4,0). ②当直线PQ的斜率存在时,假设直线直线PQ过定点(4,0),则设直线PQ的方程为y=k(x-4), 联立,得k2x2-(8k2+4)x+16k2=0, 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=8+,x1x2=16, ∴y1+y2=k(x1-4)+k(x2-4)=k(8+)-8k=, y1y2=k(x1-4)•k(x2-4) =k2[x1x2-4(x1+x2)+16] =k2[16-4(8+)+16]=-16. ∴|PQ|= = | [(x1+x2)2-4x1x2]+[(y1+y2)2-4y1y2] |
= =2. ∵线段PQ的中点A(4+,), ∴|AO|==. ∴以线段PQ为直径的圆恒过原点O. 即假设成立,故直线PQ恒过定点(4,0). |