已知椭圆C与双曲线x22-y26=1有相同焦点F1和F2,过F1的直线交椭圆于A、B两点,△ABF2的周长为83.若直线y=t(t>0)与椭圆C交于不同的两点E
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已知椭圆C与双曲线x22-y26=1有相同焦点F1和F2,过F1的直线交椭圆于A、B两点,△ABF2的周长为83.若直线y=t(t>0)与椭圆C交于不同的两点E
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C与双曲线
x
2
2
-
y
2
6
=1
有相同焦点F
1
和F
2
,过F
1
的直线交椭圆于A、B两点,△ABF
2
的周长为
8
3
.若直线y=t(t>0)与椭圆C交于不同的两点E、F,以线段EF为直径作圆M.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若圆M与x轴相切,求圆M被直线
x-
3
y+1=0
截得的线段长.
答案
(1)由题意可设椭圆C的标准方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0),半焦距为c.
∵椭圆C与双曲线
x
2
2
-
y
2
6
=1
有相同焦点,∴
c=
2+6
=
2
2
.
∵△ABF
2
的周长为
8
3
,∴|AB|+|AF
2
|+|BF
2
|=
8
3
,∴|AF
1
|+|BF
1
|+|AF
2
|+|BF
2
|=
8
3
,
由椭圆的定义可得
4a=8
3
,解得
a=2
3
,
∴b
2
=a
2
-c
2
=4.
∴椭圆C的方程为
x
2
12
+
y
2
4
=1
.
(2)联立
y=t
x
2
12
+
y
2
4
=1
,解得
x=±
12-3
t
2
y=t
,
不妨设E
(-
12-3
t
2
,t)
,F
(
12-3
t
2
,t)
,
∵以线段EF为直径所作的圆M与x轴相切,∴r=t=
12-3
t
2
,解得
t=
3
.
∴圆心为(0,
3
).
∴圆M的方程为
x
2
+(y-
3
)
2
=3
.
圆心(0,
3
)到直线
x-
3
y+1=0
的距离d=
|0-3+1|
1+(
3
)
2
=1.
∴圆M被直线
x-
3
y+1=0
截得的线段长=
2
r
2
-
d
2
=
2
3-1
=
2
2
.
举一反三
若椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的焦距为
2
5
,且过点(-3,2),⊙O的圆心为原点,直径为椭圆的短轴,⊙M的方程为(x-8)
2
+(y-6)
2
=4,过⊙M上任一点P作⊙O的切线PA、PB,切点为A、B.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线PA与⊙M的另一交点为Q,当弦PQ最大时,求直线PA的直线方程;
(3)求
OA
•
OB
的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知点B(0,1),A,C为椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
=1(a>1)上的两点,△ABC是以B为直角顶点的直角三角形.
(1)△ABC能否为等腰三角形?若能,这样的三角形有几个?
(2)当a=2时,求线段AC的中垂线l在x轴上截距的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点,以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.与p的取值相关
题型:不详
难度:
|
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已知点F(1,0),直线L:x=-1,P为平面上的动点,过点P作直线L的垂线,垂足为Q,且
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有
FA
•
FB
<0
?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线的两条渐近线方程是y=x和y=-x,且过点D
(
2
,
3
)
.l
1
,l
2
是过点P
(-
2
,0)
的两条互相垂直的直线,且l
1
,l
2
与双曲线各有两个交点,分别为A
1
,B
1
和A
2
,B
2
.
(1)求双曲线的方程;
(2)求l
1
斜率的范围
(3)若
|
A
1
B
1
|=
5
|
A
2
B
2
|
,求l
1
的方程.
题型:不详
难度:
|
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