已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),离心率是63,直线y=t椭圆C交与不同的两点M,N,以线段为直径作圆P,圆心为P.(Ⅰ)求椭圆C的方程

已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),离心率是63,直线y=t椭圆C交与不同的两点M,N,以线段为直径作圆P,圆心为P.(Ⅰ)求椭圆C的方程

题型:不详难度:来源:
已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-


2
,0)
(


2
,0)
,离心率是


6
3
,直线y=t椭圆C交与不同的两点M,N,以线段为直径作圆P,圆心为P.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标;
(Ⅲ)设Q(x,y)是圆P上的动点,当T变化时,求y的最大值.
答案
(Ⅰ)因为
c
a
=


6
3
,且c=


2
,所以a=


3
,b=


a2-c2
=1

所以椭圆C的方程为
x2
3
+y2=1

(Ⅱ)由题意知p(0,t)(-1<t<1)





y=t
x2
3
+y2=1
x=±


3(1-t2)

所以圆P的半径为


3(1-t2)

则有t2=3(1-t2),
解得t=±


3
2
所以点P的坐标是(0,±


3
2

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,圆P的方程x2+(y-t)2=3(1-t2).因为点Q(x,y)在圆P上.所以y=t±


3(1-t2)-x2
≤t+


3(1-t2)

设t=cosθ,θ∈(0,π),则t+


3(1-t2)
=cosθ+


3
sinθ=2sin(θ+
π
6
)

θ=
π
3
,即t=
1
2
,且x=0,y取最大值2.
举一反三
已知定点A(2,2),M在抛物线x2=4y上,M在抛物线准线上的射影是P点,则MP-MA的最大值为(  )
A.1B.


5
C.


7
D.5-2


2
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如图,已知点P(a,b),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线y2=2px(p>0)上,PA,PB与x轴分别交于C,D两点,且PC=PD,则y1+y2的值为…(  )
A.-2aB.2bC.2pD.-2b

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AB是过C:y2=4x焦点的弦,且|AB|=10,则AB中点的横坐标是______.
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过双曲线
x2
3
-
y2
6
=1
的右焦点F,倾斜角为30°的直线交此双曲线于A,B两点,求|AB|.
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已知F1,F2分别是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,|


F1F2
|=2
,离心率e=
1
2
,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l的倾斜角为
π
4
,求线段MN中点的坐标.
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