已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，|F1F2|=2，离心率e=12，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M，N两点．

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已知F₁，F₂分别是椭圆C：

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，|

F1F2

|=2，离心率e=

，过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l的倾斜角为

，求线段MN中点的坐标．

答案

（1）∵2c=|

F1F2

|=2，∴c=1，
又由e=

，得a=2，∴b²=2²-1²=3，
∴椭圆的标准方程为

=1．
（2）∵F₂（1，0），k_l=tan

=1．
∴直线l：y=x-1，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
线段MN的中点为G（x₀，y₀）．
由

y=x-1

得7x²-8x-8=0，
∴x1+x2=

，
∴x0=

x1+x2

，y0=x0-1=-

，
故线段MN的中点为(

，-

)．

举一反三

如图，已知点A是椭圆

=1(a＞b＞0)的右顶点，若点C(

，

)在椭圆上，且满足

•

．（其中O为坐标原点）
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆交于两点M，N，当

，m∈(0，2)时，求△OMN面积的最大值．

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已知椭圆G：

=1(a＞b＞0)的离心率为

，右焦点为（2

，0）．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．

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已知定点F（2，0），动圆P经过点F且与直线x=-2相切，记动圆的圆心P的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作倾斜角为60°的直线l与轨迹C交于A（x₁，y₁）、B（x₁，y₂）两点，O为坐标原点，点M为轨迹C上一点，若向量

+λ

，求λ的值．

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如图，双曲线

=1（a，b＞0）的两顶点为A₁，A₂，虚轴两端点为B₁，B₂，两焦点为F₁，F₂．若以A₁A₂为直径的圆内切于菱形F₁B₁F₂B₂，切点分别为A，B，C，D．则：
（Ⅰ）双曲线的离心率e=______；
（Ⅱ）菱形F₁B₁F₂B₂的面积S₁与矩形ABCD的面积S₂的比值

=______．

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已知椭圆

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，焦距为2c；若以F₂为圆心，b-c为半径作圆F₂，过椭圆上任一点P（x₀，y₀）作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于

（a-c）．
（Ⅰ）证明：|PF₂|的最小值为a-c；
（Ⅱ）求椭圆的离心率e的取值范围；
（Ⅲ）若椭圆的短半轴长为1，圆F₂与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为2的直线l与椭圆交于A、B两点，若OA⊥OB，求椭圆的方程．

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