已知定点F(2,0),动圆P经过点F且与直线x=-2相切,记动圆的圆心P的轨迹为C.(Ⅰ)求轨迹C的方程;(Ⅱ)过点F作倾斜角为60°的直线l与轨迹C交于A(x
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已知定点F(2,0),动圆P经过点F且与直线x=-2相切,记动圆的圆心P的轨迹为C.(Ⅰ)求轨迹C的方程;(Ⅱ)过点F作倾斜角为60°的直线l与轨迹C交于A(x
题型:不详
难度:
来源:
已知定点F(2,0),动圆P经过点F且与直线x=-2相切,记动圆的圆心P的轨迹为C.
(Ⅰ)求轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点F作倾斜角为60°的直线l与轨迹C交于A(x
1
,y
1
)、B(x
1
,y
2
)两点,O为坐标原点,点M为轨迹C上一点,若向量
OM
=
OA
+λ
OB
,求λ的值.
答案
(Ⅰ)∵动圆P经过点F且与直线x=-2相切,
∴P到F的距离等于P到直线x=-2的距离
∴圆心P的轨迹为以F(2,0)为焦点的抛物线
∴轨迹C的方程为y
2
=8x;
(Ⅱ)设M(x,y),则直线l的方程为y=
3
(x-2)
代入y
2
=8x得:3x
2
-20x+12=0
∴x
1
=
2
3
,x
2
=6
∴y
1
=-
4
3
3
,y
2
=4
3
∵
OM
=
OA
+λ
OB
,
∴x=x
1
+λx
2
,y=y
1
+λy
2
,
∴x=
2
3
+6λ,y=-
4
3
3
+4
3
λ
∵点M为轨迹C上一点,∴y
2
=8x,
∴(-
4
3
3
+4
3
λ)
2
=8(
2
3
+6λ)
∴3λ
2
-5λ=0
∴λ=
5
3
或0.
举一反三
如图,双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a,b>0)的两顶点为A
1
,A
2
,虚轴两端点为B
1
,B
2
,两焦点为F
1
,F
2
.若以A
1
A
2
为直径的圆内切于菱形F
1
B
1
F
2
B
2
,切点分别为A,B,C,D.则:
(Ⅰ)双曲线的离心率e=______;
(Ⅱ)菱形F
1
B
1
F
2
B
2
的面积S
1
与矩形ABCD的面积S
2
的比值
S
1
S
2
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,焦距为2c;若以F
2
为圆心,b-c为半径作圆F
2
,过椭圆上任一点P(x
0
,y
0
)作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于
3
2
(a-c).
(Ⅰ)证明:|PF
2
|的最小值为a-c;
(Ⅱ)求椭圆的离心率e的取值范围;
(Ⅲ)若椭圆的短半轴长为1,圆F
2
与x轴的右交点为Q,过点Q作斜率为2的直线l与椭圆交于A、B两点,若OA⊥OB,求椭圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
=1
(a>1)的离心率
e=
3
2
,直线x=2t(t>0)与椭圆E交于不同的两点M、N,以线段MN为直径作圆C,圆心为C
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)当圆C与y轴相切的时候,求t的值;
(Ⅲ)若O为坐标原点,求△OMN面积的最大值.
题型:不详
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|
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已知离心率为
3
2
的椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>o)过点M(2,1),O为坐标原点,平行于OM的直线l交椭圆于C不同的两点A,B.
(1)求椭圆的C方程.
(2)证明:若直线MA,MB的斜率分别为k
1
、k
2
,求证:k
1
+k
2
=0.
题型:不详
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在椭圆
x
2
16
+
y
2
9
=1
内,有一内接三角形ABC,它的一边BC与长轴重合,点A在椭圆上运动,则△ABC的重心的轨迹方程为______.
题型:不详
难度:
|
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