已知平面内一点P与两个定点F1(-3,0)和F2(3,0)的距离的差的绝对值为2.(Ⅰ)求点P的轨迹方程C;(Ⅱ)设过(0,-2)的直线l与曲线C交于A,B两点
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已知平面内一点P与两个定点F1(-3,0)和F2(3,0)的距离的差的绝对值为2.(Ⅰ)求点P的轨迹方程C;(Ⅱ)设过(0,-2)的直线l与曲线C交于A,B两点
题型:不详
难度:
来源:
已知平面内一点P与两个定点
F
1
(-
3
,0)
和
F
2
(
3
,0)
的距离的差的绝对值为2.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程C;
(Ⅱ)设过(0,-2)的直线l与曲线C交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求直线l的方程.
答案
(Ⅰ)根据双曲线的定义,可知动点P的轨迹为双曲线,
其中a=1,
c=
3
,则
b=
c
2
-
a
2
=
2
.
所以动点P的轨迹方程C:
x
2
-
y
2
2
=1
.
(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,不满足题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-2,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
由方程组
x
2
-
y
2
2
=1
y=kx-2
得(2-k
2
)x
2
+4kx-6=0.
因为直线l与曲线C交于A,B两点,
所以
2-
k
2
≠0
△=(4k
)
2
-4×(2-
k
2
)×(-6)>0
,
即
-
6
<k<
6
且
k≠±
2
.(*)
由根与系数关系得
x
1
+
x
2
=
-4k
2-
k
2
,
x
1
•
x
2
=
-6
2-
k
2
,
因为y
1
=kx
1
-2,y
2
=kx
2
-2,
所以
y
1
y
2
=
k
2
x
1
•
x
2
-2k(
x
1
+
x
2
)+4
.
因为OA⊥OB,所以
OA
•
OB
=0
,即x
1
x
2
+y
1
y
2
=0,
所以(1+k
2
)x
1
x
2
-2k(x
1
+x
2
)+4=0,
所以
(1+
k
2
)•
-6
2-
k
2
-2k•
-4k
2-
k
2
+4=0
,
即k
2
=1,解得k=±1,由(*)式知k=±1符合题意.
所以直线l的方程是y=x-2或y=-x-2.
举一反三
在平面直角坐标系中,已知焦距为4的椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
左、右顶点分别为A、B,椭圆C的右焦点为F,
过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S,若线段RS的长为
10
3
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设Q(t,m)是直线x=9上的点,直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N,求证:直线MN必过x轴上的一定点,并求出此定点的坐标.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为e=
3
2
,且过点(
3
,
1
2
)
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+m(k≠0,m>0)与椭圆交于P,Q两点,且以PQ为对角线的菱形的一顶点为(-1,0),求:△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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过双曲线x
2
-y
2
=1上一点Q作直线x+y=2的垂线,垂足为N,则线段QN的中点P的轨迹方程为( )
A.2x
2
-2y
2
-2x-1=0
B.x
2
+y
2
=1
C.2x
2
+2y
2
-y=0
D.2x
2
-2y
2
-2x+2y-1=0
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0)、B(1,0),动点C满足条件:△ABC的周长为
2+2
2
.记动点C的轨迹为曲线W.
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)经过点(0,
2
)且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q,求k的取值范围;
(Ⅲ)已知点M(
2
,0
),N(0,1),在(Ⅱ)的条件下,是否存在常数k,使得向量
OP
+
OQ
与
MN
共线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
题型:不详
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|
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如图,已知抛物线方程为y
2
=8x.直线l
1
过抛物线的焦点F,且倾斜角为45°,直线l
1
与抛物线相交于C、D两点,O为原点.
(1)写出直线l
1
方程
(2)求CD的长度.
题型:不详
难度:
|
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