椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴，它的短轴长为2，过焦点与x轴垂直的直线与椭圆C相交于A，B两点且|AB|=1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过定点N（1，0）的

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椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴，它的短轴长为2，过焦点与x轴垂直的直线与椭圆C相交于A，B两点且|AB|=1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过定点N（1，0）的

题型：不详难度：来源：
椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴，它的短轴长为2，过焦点与x轴垂直的直线与椭圆C相交于A，B两点且|AB|=1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过定点N（1，0）的直线l交椭圆C于C、D两点，交y轴于点P，若


PC
=λ1


CN
，


PD
=λ2


DN
，求证：λ1+λ2为定值．
答案
（Ⅰ）设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1．
令x=-c，代入椭圆方程得，y=±
b2
a
．
所以2×
b2
a
=1，2b=2，
解得a=2，b=1．
∴椭圆的标准方程为
x2
4
+y2=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my-1，则P点坐标为（0，
1
m
）
设C（x1，y1），D（x2，y2）
联立直线与椭圆的方程





x=my-1
x2
4
+y2=1
，得（m2+4）y2-2my-3=0，
∴y1+y2=
2m
m2+4
，y1y2=
-3
m2+4

又∵


PC
=λ1


CN
，


PD
=λ2


DN
，
∴λ1=
1
m
-y1
y1
，λ2=
1
m
-y2
y2
，
∴λ1+λ2=
1
m
-y1
y1
+
1
m
-y2
y2
=
1
my1
+
1
my2
-2=
y1+y2
my1y2
-2=-
2
3
-2=-
8
3

即λ1+λ2为定值
举一反三
已知椭圆C的两焦点分别为F1（-2


2
，0）、F2（2


2
，0），长轴长为6，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长度．
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在同一坐标系中，方程
x2
a2
+
y2
b2
=1与bx2=-ay（a＞b＞0）表示的曲线大致是（　　）
A．B．C．D．
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如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的顶点在原点，其焦点F在x轴的正半轴上，过点F作x轴的垂线与W交于A、B两点，且点A在第一象限，|AB|=8，过点B作直线BC与x轴交于点T（t，0）（t＞2），与抛物线交于点C．
（1）求抛物线W的标准方程；
（2）若t=6，曲线G：x2+y2-2ax-4y+a2=0与直线BC有公共点，求实数a的取值范围；
（3）若|OB|2+|OC|2≤|BC|2，求△ABC的面积的最大值．
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已知椭圆C：
x2
4
+
y2
3
=1，直线l过点M（m，0）．
（Ⅰ）若直线l交y轴于点N，当m=-1时，MN中点恰在椭圆C上，求直线l的方程；
（Ⅱ）如图，若直线l交椭圆C于A，B两点，当m=-4时，在x轴上是否存在点p，使得△PAB为等边三角形？若存在，求出点p坐标；若不存在，请说明理由．
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过x轴上动点A（a，0）引抛物线y=x2+1的两条切线AP、AQ，P、Q为切点．
（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2为定值，并求出定值；
（2）求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标；
（3）当
S△APO
PQ
最小时，求


AQ
•


AP
的值．
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