已知抛物线C：y2=8x，O为坐标原点，动直线l：y=k（x+2）与抛物线C交于不同两点A，B（1）求证：OA•OB为常数；（2）求满足OM=OA+OB的点M的

题型：不详难度：来源：

已知抛物线C：y²=8x，O为坐标原点，动直线l：y=k（x+2）与抛物线C交于不同两点A，B
（1）求证：

OA

•

OB

为常数；
（2）求满足

OM

=

OA

+

OB

的点M的轨迹方程．

答案

将y=k（x+2）代入y²=8x，整理得k²x²+（4k²-8）x+4k²=0，
∵动直线l与抛物线C交于不同两点A、B，
∴k≠0且△＞0，即

k≠0 (4k2-8)2-16k4＞0

解得：-1＜k＜1且k≠0．
设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），则x1+x2=

8

k2

-4，x1x2=4．
（1）证明：

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1+2)(x2+2)
=(k2+1)x1x2+2k2(x1+x2)+4k2=4(k2+1)+2k2(

8

k2

-4)+4k2=20，
∴

OA

•

OB

为常数．
（2）

OM

=

OA

+

OB

=(x1，y1)+(x2，y2)=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（x₁+x₂，k（x₁+x₂+4））=(

8

k2

-4，

8

k

)．
设M（x，y），则

x= 8 k2 -4 y= 8 k

消去k得：y²=8x+32．
又由-1＜k＜1且k≠0得：0＜k²＜1，

1

k2

＞1，∴x=

8

k2

-4＞4，
∴点M的轨迹方程为y²=8x+32（x＞4）