已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,抛物线C上的点M(2,m)到焦点F的距离为3.(Ⅰ)求抛物线C的方程:(Ⅱ)过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A、
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已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,抛物线C上的点M(2,m)到焦点F的距离为3.(Ⅰ)求抛物线C的方程:(Ⅱ)过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A、
题型:不详
难度:
来源:
已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,抛物线C上的点M(2,m)到焦点F的距离为3.
(Ⅰ)求抛物线C的方程:
(Ⅱ)过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A、B两点,若|AB|=4
6
,求直线l的方程.
答案
(Ⅰ)∵抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,
抛物线C上的点M(2,m)到焦点F的距离为3,
∴设抛物线的方程为y
2
=2px(p>0),
M到准线的距离为3,即
p
2
+2=3
,解得p=2,
∴抛物线C的方程为y
2
=4x.…(3分)
(Ⅱ)设直线l的方程为y=k(x-2),
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
由
y
2
=4x,
y=k(x-2),
得k
2
x
2
-(4k
2
+4)x+4k
2
=0,
根据韦达定理,
x
1
+
x
2
=
4(
k
2
+1)
k
2
,x
1
x
2
=4.
∴
|AB
|
2
=(1+
k
2
)|
x
1
-
x
2
|
2
=(1+
k
2
)[(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
]
=
(1+
k
2
)[
16(
k
4
+2
k
2
+1)
k
4
-16]
=
16(1+
k
2
)
2
k
2
+1
k
4
=96
整理得4k
4
-3k
2
-1=0,解得k=±1.
∴直线l的方程为x-y-2=0或x+y-2=0.…(10分)
举一反三
已知抛物线的顶点在原点,焦点F与双曲线
x
2
-
y
2
4
=1
的右顶点重合.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线l经过焦点F,且倾斜角为60°,与抛物线交于A、B两点,求:弦长|AB|.
题型:不详
难度:
|
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如图,梯形ABCD的底边AB在y轴上,原点O为AB的中点,|AB|=
4
2
3
,|CD|=2-
4
2
3
,AC⊥BD.M为CD的中点.
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)过M作AB的垂线,垂足为N,若存在正常数λ
0
,使
MP
=λ
0
PN
,且P点到A、B的距离和为定值,求点P的轨迹E的方程;
(Ⅲ)过(0,
1
2
)的直线与轨迹E交于P、Q两点,求△OPQ面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知直线y=k(x+2)与双曲线
x
2
m
-
y
2
8
=1,有如下信息:联立方程组:
y=k(x+2)
x
2
m
-
y
2
8
=1
消去y后得到方程Ax
2
+Bx+C=0,分类讨论:
(1)当A=0时,该方程恒有一解;
(2)当A≠0时,△=B
2
-4AC≥0恒成立.在满足所提供信息的前提下,双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,
3
]
B.[
3
,+∞)
C.(1,2]
D.[2,+∞)
题型:不详
难度:
|
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已知F
1
,F
2
是椭圆
x
2
16
+
y
2
9
=1
的两焦点,过点F
2
的直线交椭圆于A,B两点,在△AF
1
B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为______.
题型:不详
难度:
|
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已知点
P(-1,
3
2
)
是椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)上一点,F
1
、F
2
分别是椭圆E的左、右焦点,O是坐标原点,PF
1
⊥x轴.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设A、B是椭圆E上两个动点,是否存在λ,满足
PA
+
PB
=λ
PO
(0<λ<4,且λ≠2),且M(2,1)到AB的距离为
5
?若存在,求λ值;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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