点P在直线l:y=x-1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A,B两点,且PA=AB,则称点P为“λ点”,那么直线l上有______个“λ点”.

点P在直线l:y=x-1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A,B两点,且PA=AB,则称点P为“λ点”,那么直线l上有______个“λ点”.

题型:不详难度:来源:
点P在直线l:y=x-1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A,B两点,且


PA
=


AB
,则称点P为“λ点”,那么直线l上有______个“λ点”.
答案
本题采作数形结合法易于求解,如图,
设A(m,n),P(x,x-1)
则B(2m-x,2n-x+1),
∵A,B在y=x2上,
∴n=m2,2n-x+1=(2m-x)2
消去n,整理得关于x的方程x2-(4m-1)x+2m2-1=0(1)
∵△=(4m-1)2-4(2m2-1)=8m2-8m+5>0恒成立,
∴方程(1)恒有实数解,
∴有无穷多解.
举一反三
设椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q,且


AP
=
8
5


PQ

(1)求椭圆C的离心率;
(2)若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l:x+


3
y+3=0相切,求椭圆C的方程.
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已知点A(1,0),定直线l:x=-1,B为l上的一个动点,过B作直线m⊥l,连接AB,作线段AB的垂直平分线n,交直线m于点M.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)过点N(4,0)作直线h与点M的轨迹C相交于不同的两点P,Q,求证OP⊥OQ(O为坐标原点).
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如图,椭圆的两顶点为A(


2
,0)
,B(0,1),该椭圆的左右焦点分别是F1,F2
(1)在线段AB上是否存在点C,使得CF1⊥CF2?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)设过F1的直线交椭圆于P,Q两点,求△PQF2面积的最大值.
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已知抛物线C的方程为x2=4y,直线y=2与抛物线C相交于M,N两点,点A,B在抛物线C上.
(Ⅰ)若∠BMN=∠AMN,求证:直线AB的斜率为


2

(Ⅱ)若直线AB的斜率为


2
,求证点N到直线MA,MB的距离相等.
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椭圆
x2
16
+
y2
9
=1
的左、右焦点分别为F1、F2,过焦点F1的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2的内切圆的面积为π.A,B两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则|y2-y1|的值为______.
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