设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q,且AP=85PQ.(1)求椭圆
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设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q,且AP=85PQ.(1)求椭圆
题型:不详
难度:
来源:
设椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q,且
AP
=
8
5
PQ
.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l:x+
3
y+3=0相切,求椭圆C的方程.
答案
(1)设Q(x
0
,0),由F(-c,0)A(0,b)知
FA
=(c,b),
AQ
=(
x
0
,-b)
∵
FA
⊥
AQ
,∴
c
x
0
-
b
2
=0,
x
0
=
b
2
c
设P(x
1
,y
1
),
由
AP
=
8
5
PQ
得
x
1
=
8
b
2
13c
,
y
1
=
5
13
b
因为点P在椭圆上,所以
(
8
b
2
13c
)
2
a
2
+
(
5
13
b)
2
b
2
=1
整理得2b
2
=3ac,即2(a
2
-c
2
)=3ac,2e
2
+3e-2=0,故椭圆的离心率e=
1
2
.
(2)由(1)知
2
b
2
=3ac,得
b
2
c
=
3
2
a
,
由
c
a
=
1
2
,得c=
1
2
a
于是F(-
1
2
a,0)Q
(
3
2
a,0)
,
△AQF的外接圆圆心为(
1
2
a,0),半径r=
1
2
|FQ|=a
所以
|
1
2
a+3|
2
=a
,解得a=2,
∴c=1,b=
3
,
所求椭圆方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
举一反三
已知点A(1,0),定直线l:x=-1,B为l上的一个动点,过B作直线m⊥l,连接AB,作线段AB的垂直平分线n,交直线m于点M.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)过点N(4,0)作直线h与点M的轨迹C相交于不同的两点P,Q,求证OP⊥OQ(O为坐标原点).
题型:不详
难度:
|
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如图,椭圆的两顶点为
A(
2
,0)
,B(0,1),该椭圆的左右焦点分别是F
1
,F
2
.
(1)在线段AB上是否存在点C,使得CF
1
⊥CF
2
?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)设过F
1
的直线交椭圆于P,Q两点,求△PQF
2
面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C的方程为x
2
=4y,直线y=2与抛物线C相交于M,N两点,点A,B在抛物线C上.
(Ⅰ)若∠BMN=∠AMN,求证:直线AB的斜率为
2
;
(Ⅱ)若直线AB的斜率为
2
,求证点N到直线MA,MB的距离相等.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
x
2
16
+
y
2
9
=1
的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,过焦点F
1
的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF
2
的内切圆的面积为π.A,B两点的坐标分别为(x
1
,y
1
)和(x
2
,y
2
),则|y
2
-y
1
|的值为______.
题型:不详
难度:
|
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如图.已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的长轴为AB,过点B的直线l与x轴垂直,椭圆的离心率
e=
3
2
,F
1
为椭圆的左焦点且
A
F
1
•
F
1
B
=1.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设P是椭圆上异于A、B的任意一点,PH⊥x轴,H为垂足,延长HP到点Q使得HP=PQ.连接AQ并延长交直线l于点M,N为MB的中点,判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.
题型:不详
难度:
|
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