设F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点.(Ⅰ)若椭圆上的点A(1,32)到点F1、F2的距离之和等于4,求椭圆C的方程;(Ⅱ

设F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点.(Ⅰ)若椭圆上的点A(1,32)到点F1、F2的距离之和等于4,求椭圆C的方程;(Ⅱ

题型:不详难度:来源:
设F1、F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点.
(Ⅰ)若椭圆上的点A(1,
3
2
)到点F1、F2的距离之和等于4,求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设点P是(Ⅰ)中所得椭圆C上的动点,求线段F1P的中点M的轨迹方程.
答案
(Ⅰ)由椭圆上的点A到点F1、F2的距离之和是4,可得2a=4,即a=2.(1分)
又点A(1,
3
2
)在椭圆上,因此
1
22
+
(
3
2
)
2
b2
=1,解得b2=3,于是c2=1…(2分)
所以椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1…(3分)
(Ⅱ)设椭圆C上的动点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x,y).
由(Ⅰ)知,点F1的坐标为(-1,0),则x=
-1+x1
2
,y=
y1
2
,即x1=2x+1y1=2y…(5分)
因此
(2x+1)2
4
+
(2y)2
3
=1,即(x+
1
2
)2+
4y2
3
=1
为所求的轨迹方程…(6分)
举一反三
某圆锥曲线有下列信息:
①曲线是轴对称图形,且两坐标轴都是对称轴;
②焦点在x轴上且焦点到坐标原点的距离为1;
③曲线与坐标轴的交点不是两个;
④曲线过点A(1,
3
2
).
(1)判断该圆锥曲线的类型并求曲线的方程;
(2)点F是改圆锥曲线的焦点,点F′是F关于坐标原点O的对称点,点P为曲线上的动点,探求以|PF|以及|PF|•|PF′|的取值范围.
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点P(4,4),圆C:(x-1)2+y2=5与椭圆E:
x2
18
+
y2
2
=1
有一个公共点A(3,1),F1、F2分别是椭圆左、右焦点,直线PF1与圆C相切.设Q为椭圆E上的一个动点,求


AP


AQ
的取值范围.
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如图,抛物线C1:y2=8x与双曲线C2
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
有公共焦点F2,点A是曲线C1,C2在第一象限的交点,且|AF2|=5.
(Ⅰ)求双曲线C2的方程;
(Ⅱ)以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切,圆N:(x-2)2+y2=1.平面上有点P满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1,l2,它们分别与圆M,N相交,且直线l1被圆M截得的弦长与直线l2被圆N截得的弦长的比为


3
:1
,试求所有满足条件的点P的坐标.
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过点M(2,0)的直线l与抛物线y2=x交于A,B两点,则


OA


OB
的值为(  )
A.0B.1C.2D.3
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抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上点M的横坐标为2,且|MF|=3.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过焦点F作两条相互垂直的直线,分别与抛物线C交于M、N和P、Q四点,求四边形MPNQ面积的最小值.
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