设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)过点（0，4），离心率为35（1）求C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C所截线段的长度．

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设椭圆C：

=1(a＞b＞0)过点（0，4），离心率为

（1）求C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为

的直线被C所截线段的长度．

答案

（1）将（0，4）代入C的方程得

=1，
∴b=4，
又e=

，
得

a2-b2

即1-

，
∴a=5
∴C的方程为

=1．
（2）过点（3，0）且斜率为

的直线方程为y=

(x-3)，
设直线与C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程y=

(x-3)代入C的方程，得

(x-3)2

=1，
即x²-3x-8=0，
∴x₁+x₂=-3，x₁x₂=-8．
∴|AB|=

1+k2

|x2-x1|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

．

举一反三

在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆

=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F，设过点T（t，m）的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0
（1）设动点P满足(

)(

)=13，求点P的轨迹方程；
（2）设x₁=2，x2=

，求点T的坐标；
（3）若点T在点P的轨迹上运动，问直线MN是否经过x轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．

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已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为1的点M到抛物线C焦点F的距离|MF|=2．
（1）试求抛物线C的标准方程；
（2）若直线l与抛物线C相交所得的弦的中点为（2，1），试求直线l的方程．

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直线l：y=ax+1与双曲线3x²-y²=1有两个不同的交点，
（1）求a的取值范围；
（2）设交点为A，B，是否存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点，若存在就求出直线l的方程，若不存在则说明理由．

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已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C₂：

=1（a＞b＞0）的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x²+y²=1上．
（1）求抛物线C₁和椭圆C₂的标准方程；
（2）过点F的直线交抛物线C₁于A，B两不同点，交y轴于点N，已知

=λ1

，

=λ2

，则λ₁+λ₂是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．

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已知直线l：y=2x与抛物线C：y=

x2交于A（x_A，y_A）、O（0，0）两点，过点O与直线l垂直的直线交抛物线C于点B（x_B，y_B）．如图所示．
（1）求抛物线C的焦点坐标；
（2）求经过A、B两点的直线与y轴交点M的坐标；
（3）过抛物线y=

x2的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点A、B的直线AB是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由．

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