已知椭圆C1:x24+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上
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已知椭圆C1:x24+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C
1
:
x
2
4
+y
2
=1,椭圆C
2
以C
1
的长轴为短轴,且与C
1
有相同的离心率.
(1)求椭圆C
2
的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C
1
和C
2
上,
OB
=2
OA
,求直线AB的方程.
答案
(1)椭圆
C
1
:
x
2
4
+
y
2
=1
的长轴长为4,离心率为
e=
c
a
=
3
2
∵椭圆C
2
以C
1
的长轴为短轴,且与C
1
有相同的离心率
∴椭圆C
2
的焦点在y轴上,2b=4,为
e=
c
a
=
3
2
∴b=2,a=4
∴椭圆C
2
的方程为
y
2
16
+
x
2
4
=1
;
(2)设A,B的坐标分别为(x
A
,y
A
),(x
B
,y
B
),
∵
OB
=2
OA
∴O,A,B三点共线,且点A,B不在y轴上
∴设AB的方程为y=kx
将y=kx代入
x
2
4
+
y
2
=1
,消元可得(1+4k
2
)x
2
=4,∴
x
A
2
=
4
1+4
k
2
将y=kx代入
y
2
16
+
x
2
4
=1
,消元可得(4+k
2
)x
2
=16,∴
x
B
2
=
16
4
+k
2
∵
OB
=2
OA
,∴
x
B
2
=4
x
A
2
,
∴
16
4
+k
2
=
16
1+4
k
2
,解得k=±1,
∴AB的方程为y=±x
举一反三
已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的离心率为
3
2
,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线
x-y+
2
=0
相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P(4,0),M,N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连接PN交椭圆C于另一点E,求直线PN的斜率的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,证明直线ME与x轴相交于定点.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线的中心在原点,左右焦点分别为F
1
,F
2
,离心率为
2
,且过点
(4,-
10
)
,
(1)求此双曲线的标准方程;
(2)若直线系kx-y-3k+m=0(其中k为参数)所过的定点M恰在双曲线上,求证:F
1
M⊥F
2
M.
题型:不详
难度:
|
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如图,线段MN的两个端点M、N分别在x轴、y轴上滑动,|MN|=5,点P是线段MN上一点,且
MP
=
2
3
PN
,点P随线段MN的运动而变化.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)过点(2,0)作直线l,与曲线C交于A、B两点,O是坐标原点,设
OS
=
OA
+
OB
,是否存在这样的直线l,使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,试说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图所示,F
1
、F
2
分别为椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左、右两个焦点,A、B为两个顶点,已知椭圆C上的点
(1,
3
2
)
到F
1
、F
2
两点的距离之和为4.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过椭圆C的焦点F
2
作AB的平行线交椭圆于P、Q两点,求△F
1
PQ的面积.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C的方程为x
2
=2py(p>0),焦点F为(0,1),点P(x
1
,y
1
)是抛物线上的任意一点,过点P作抛物线的切线交抛物线的准线l于点A(s,t).
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)若x
1
∈[1,4],求s的取值范围.
(3)过点A作抛物线C的另一条切线AQ,其中Q(x
2
,y
2
)为切点,试问直线PQ是否恒过定点,若是,求出定点;若不是,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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