已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x,O为坐标原点,点M(5,3)在双曲线上.(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l与
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已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x,O为坐标原点,点M(5,3)在双曲线上.(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l与
题型:不详
难度:
来源:
已知双曲线C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的渐近线方程为
y=±
3
x
,O为坐标原点,点
M(
5
,
3
)
在双曲线上.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l与双曲线交于P,Q两点,且
OP
⊥
OQ
,求|OP|
2
+|OQ|
2
的最小值.
答案
(1)双曲线C的渐近线方程为
y=±
3
x
,
∴b
2
=3a
2
,
∵点
M(
5
,
3
)
在双曲线上,∴
5
a
2
-
3
b
2
=1
,
联立得
b
2
=3
a
2
5
a
2
-
3
b
2
=1
,解得
a
2
=4
b
2
=12
,
∴双曲线C的方程为
x
2
4
-
y
2
12
=1
.
(2)设直线PQ的方程为y=kx+m,点P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),
将直线PQ的方程代入双曲线C的方程,可化为(3-k
2
)x
2
-2kmx-m
2
-12=0
∴
3-
k
2
≠0
△=(-2km
)
2
-4(3-
k
2
)(-
m
2
-12)>0
(*)
x
1
+
x
2
=
2km
3-
k
2
,
x
1
x
2
=
-
m
2
-12
3-
k
2
,
由
OP
•
OQ
=0⇒
x
1
•
x
2
+
y
1
•
y
2
=0
,
把y
1
=kx
1
+m,y
2
=kx
2
+m代入上式可得
(1+
k
2
)
x
1
x
2
+km(
x
1
+
x
2
)+
m
2
=0
,
∴
(1+
k
2
)
-
m
2
-12
3-
k
2
+km
2km
3-
k
2
+
m
2
=0
,
化简得m
2
=6k
2
+6.
|OP
|
2
+|OQ
|
2
=|PQ
|
2
=(1+
k
2
)[(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
]=24+
384
k
2
(
k
2
-3)
2
,
当k=0时,
|PQ
|
2
=24+
384
k
2
(
k
2
-3)
2
≥24
成立,且满足(*)
又∵当直线PQ垂直x轴时,|PQ|
2
>24,
∴|OP|
2
+|OQ|
2
的最小值是24.
举一反三
抛物线y
2
=2px(p>0)上纵坐标为-p的点M到焦点的距离为2.
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)如图,A,B,C为抛物线上三点,且线段MA,MB,MC与x轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列,若△AMB的面积是△BMC面积的
1
2
,求直线MB的方程.
题型:不详
难度:
|
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若椭圆E
1
:
x
2
a
21
+
y
2
b
21
=1
和椭圆E
2
:
x
2
a
22
+
y
2
b
22
=1
满足
a
2
a
1
=
b
2
b
1
=m(m>0)
,则称这两个椭圆相似,m是相似比.
(Ⅰ)求过(
2,
6
)
且与椭圆
x
2
4
+
y
2
2
=1
相似的椭圆的方程;
(Ⅱ)设过原点的一条射线l分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于A、B两点(点A在线段OB上).
①若P是线段AB上的一点,若|OA|,|OP|,|OB|成等比数列,求P点的轨迹方程;
②求|OA|•|OB|的最大值和最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线的中心在原点O,其中一条准线方程为
x=
3
2
,且与椭圆
x
2
25
+
y
2
13
=1
有共同的焦点.
(1)求此双曲线的标准方程;
(2)(普通中学学生做)设直线L:y=kx+3与双曲线交于A、B两点,试问:是否存在实数k,使得以弦AB为直径的圆过点O?若存在,求出k的值,若不存在,请说明理由.
(重点中学学生做)设直线L:y=kx+3与双曲线交于A、B两点,C是直线L
1
:y=mx+6上任一点(A、B、C三点不共线)试问:是否存在实数k,使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形?若存在,求出k的值,若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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将曲线
C
1
:(x-4
)
2
+
y
2
=4
所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的
1
2
得到曲线C
2
,将曲线C
2
向左(x轴负方向)平移4个单位,得到曲线C
3
.
(Ⅰ)求曲线C
3
的方程;
(Ⅱ)垂直于x轴的直线l与曲线C
3
相交于C、D两点(C、D可以重合),已知A(-2,0),B(2,0),直线AC、BD相交于点P,求P点的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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已知直线l
1
过A(0,1),与直线x=-2相交于点P(-2,y
0
),直线l
2
过B(0,-1)与x相交于Q(x
0
,0),x
0
、y
0
满足
y
0
-
x
0
2
=1
,l
1
∩l
2
=M.
(Ⅰ)求直线l
1
的方程(方程中含有y
0
);
(Ⅱ)求点M的轨迹C的方程;
(Ⅲ)过C左焦点F
1
的直线l与C相交于点A、B,F
2
为C的右焦点,求△ABF
2
面积最大时点F
2
到直线l的距离.
题型:不详
难度:
|
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