已知三点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0).(Ⅰ)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程;(Ⅱ)设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P

已知三点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0).(Ⅰ)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程;(Ⅱ)设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P

题型:不详难度:来源:
已知三点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0).
(Ⅰ)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程;
(Ⅱ)设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′,求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程.
答案
(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),
其半焦距c=6
2a=|PF1|+|PF2|=


112+22
+


12+22
=6


5

a=3


5
,b2=a2-c2=9.
所以所求椭圆的标准方程为
x2
45
+
y2
9
=1

(2)点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)
关于直线y=x的对称点分别为点P′(2,5)、F1′(0,-6)、F2′(0,6).
设所求双曲线的标准方程为
y2
a21
-
x2
b21
=1(a1>0,b1>0)

由题意知,半焦距
c1=6,2a1=||P′F1|-|P′F2||=|


112+22
-


12+22
|=4


5

a1=2


5

b12=c12-a12=36-20=16.
所以所求双曲线的标准方程为
y2
20
-
x2
16
=1
举一反三
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>c>0,a2=b2+c2)
的左、右焦点分别为F1,F2,若以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于


3
2
(a-c)

(1)求椭圆的离心率e的取值范围;
(2)设椭圆的短半轴长为1,圆F2与x轴的右交点为Q,过点Q作斜率为k(k>0)的直线l与椭圆相交于A,B两点,若OA⊥OB,求直线l被圆F2截得的弦长的最大值.
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椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1交于M,N两点,MN的中点为P,且OP的斜率为


2
2
,则
m
n
的值为(  )
A.


2
2
B.
2


2
3
C.
9


2
2
D.
2


3
27
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若直线y=k(x-2)+1与曲线y=-


1-x2
有两上不同的交点,则k的取值范围是(  )
A.[1,
4
3
]
B.[1,
4
3
)
C.(
3
4
,1]
D.(0,
4
3
)
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已知双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的渐近线方程为y=±


3
x
,O为坐标原点,点M(


5


3
)
在双曲线上.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l与双曲线交于P,Q两点,且


OP


OQ
,求|OP|2+|OQ|2的最小值.
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抛物线y2=2px(p>0)上纵坐标为-p的点M到焦点的距离为2.
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)如图,A,B,C为抛物线上三点,且线段MA,MB,MC与x轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列,若△AMB的面积是△BMC面积的
1
2
,求直线MB的方程.
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