已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0).(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为32,求椭圆的标准方程;(2)在(1)的条件下,设过定点M(0,2)的直线l
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0).(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为32,求椭圆的标准方程;(2)在(1)的条件下,设过定点M(0,2)的直线l
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
.
(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为
3
2
,求椭圆的标准方程;
(2)在(1)的条件下,设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
答案
(1)由题意,2a=4,e=
c
a
=
3
2
,∴a=2,c=
3
∴b=
a
2
-
c
2
=1
∴椭圆C的标准方程为
x
2
4
+
y
2
=1
;
(2)显然直线x=0不满足条件,可设直线l:y=kx+2,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
直线代入椭圆方程,消去y可得(1+4k
2
)x
2
+16kx+12=0
∵△=(16k)
2
-4×12×(1+4k
2
)>0,∴k<-
3
2
或k>
3
2
x
1
+x
2
=-
16k
1+4
k
2
,x
1
x
2
=
12
1+4
k
2
∴y
1
y
2
=(kx
1
+2)(kx
2
+2)=k
2
x
1
x
2
+2k(x
1
+x
2
)+4=
4-
4k
2
1+4
k
2
由于∠AOB为锐角,x
1
x
2
+y
1
y
2
>0,∴
12
1+4
k
2
+
4-4
k
2
1+4
k
2
>0
∴2<k<2
∴直线L的斜率的取值范围是(-2,-
3
2
)∪(
3
2
,2)
举一反三
已知抛物线C:y
2
=8x与点M(-2,2),过C的焦点的直线l与C交于A,B两点,若
MA
•
MB
=0
,求|AB|.
题型:不详
难度:
|
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已知圆心为F
1
的圆的方程为(x+2)
2
+y
2
=32,F
2
(2,0),C是圆F
1
上的动点,F
2
C的垂直平分线交F
1
C于M.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l,交M的轨迹于不同于N的A,B两点,直线NA,NB的斜率分别为k
1
,k
2
,证明:k
1
+k
2
为定值.
题型:不详
难度:
|
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设集合A={(x,y)|y=2x-1,x∈N
*
},B={(x,y)|y=ax
2
-ax+a,x∈N
*
},问是否存在非零整数a,使A∩B≠∅?若存在,请求出a的值;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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(200个•陕西)已知椭圆C:
x
2
个
2
+
y
2
b
2
=1
(个>b>0)的离心率为
左
3
,短轴一个端点到右焦点的距离为
3
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于个、B两点,坐标原点O到直线l的距离为
3
2
,求△个OB面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
2
+
y
2
=1
的左、右焦点分别为F
1
,F
2
,下顶点为A,点P是椭圆上任一点,⊙M是以PF
2
为直径的圆.
(Ⅰ)当⊙M的面积为
π
8
时,求PA所在直线的方程;
(Ⅱ)当⊙M与直线AF
1
相切时,求⊙M的方程;
(Ⅲ)求证:⊙M总与某个定圆相切.
题型:不详
难度:
|
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