已知斜率为1的直线l与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于B,D两点,BD的中点为M(1,3).(Ⅰ)求C的离心率;(Ⅱ)设C的右焦点为F,|
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已知斜率为1的直线l与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于B,D两点,BD的中点为M(1,3).(Ⅰ)求C的离心率;(Ⅱ)设C的右焦点为F,|
题型:不详
难度:
来源:
已知斜率为1的直线l与双曲线C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
交于B,D两点,BD的中点为M(1,3).
(Ⅰ)求C的离心率;
(Ⅱ)设C的右焦点为F,|DF|•|BF|≤17,求b
2
-a
2
取值范围.
答案
(I)由题知,l的方程为:y=x+2.
代入C的方程,并化简,得(b
2
-a
2
)x
2
-4a
2
x-4a
2
-a
2
b
2
=0.
设B(x
1
,y
1
)、D(x
2
,y
2
)则
x
1
+
x
2
=
4
a
2
b
2
-
a
2
,
x
1
x
2
=-
4
a
2
+
a
2
b
2
b
2
-
a
2
①
由M(1,3)为BD的中点知
x
1
+
x
2
2
=1
,故
1
2
•
4
a
2
b
2
-
a
2
=1
,
即b
2
=3a
2
②
故
c=
a
2
+
b
2
=2a
,所以C的离心率
e=
c
a
=2
;
(II)由①、②知C的方程为:3x
2
-y
2
=3a
2
.
F(2a,0),
x
1
+
x
2
=2,
x
1
x
2
=-
4+3
a
2
2
<0
.
故不妨设x
1
≤-a,x
2
≥a
|BF|=
(
x
1
-2a
)
2
+
y
1
2
=
(
x
1
-2a
)
2
+3
x
1
2
-3
a
2
=a-2
x
1
,
|FD|=
(
x
2
-2a
)
2
+
y
2
2
=
(
x
2
-2a
)
2
+3
x
2
2
-3
a
2
=2
x
2
-a
,
|BF|•|DF|=(a-2x
1
)(2x
2
-a)=
-4
x
1
x
2
+2a(
x
1
+
x
2
)-
a
2
=
-4×(-
4+3
a
2
2
)+4a-
a
2
=5
a
2
+4a+8
.
又|BF|•|DF|≤17,故5a
2
+4a+8≤17,
解得
-
9
5
≤a≤1
,故0<a≤1.
由e=2,得b
2
=3a
2
,故b
2
-a
2
=2a
2
∈(0,2].
举一反三
过M(1,0)作抛物线y
2
=8x的弦AB,若
|AB|=
8
10
3
,则直线AB的倾斜角是______.
题型:不详
难度:
|
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下列四个命题:
①等轴双曲线的离心率为
2
;
②双曲线
y
2
49
-
x
2
25
=-1
的渐近线方程为
y=±
5
7
x
;
③抛物线2y
2
=x的准线方程为
x=-
1
8
;
④方程2x
2
-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.
其中真命题的序号是______.(写出所有真命题的序号)
题型:不详
难度:
|
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已知直线的参数方程为
x=-1+2t
y=3-4t
(t为参数),直线与曲线(y-3)
2
-x
2
=1交于A、B两点.
(I)求线段AB的长;
(II)求点P(-1,3)到线段AB中点Q的距离.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线y=-x
2
+2过其上一点P引抛物线的切线l,l与坐标轴在第一象限围成△AOB,求△AOB面积S的最小值,并求此时切线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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过椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
的右焦点,且斜率为1的直线l与椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
相交于A,B两点,则弦长|AB|=______.
题型:不详
难度:
|
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