已知椭圆x24+y2=1(1)过椭圆上点P作x轴的垂线PD,D为垂足,当点P在椭圆上运动时,求线段PD中点M的轨迹方程;(2)若直线x-y+m=0与已知椭圆交于

已知椭圆x24+y2=1(1)过椭圆上点P作x轴的垂线PD,D为垂足,当点P在椭圆上运动时,求线段PD中点M的轨迹方程;(2)若直线x-y+m=0与已知椭圆交于

题型:不详难度:来源:
已知椭圆
x2
4
+y2=1

(1)过椭圆上点P作x轴的垂线PD,D为垂足,当点P在椭圆上运动时,求线段PD中点M的轨迹方程;
(2)若直线x-y+m=0与已知椭圆交于A、B两点,R(0,1),且|RA|=|RB|,求实数m的值.
答案
(1)设PD中点M(x,y),P(x′,y′),依题意x=x′,y=
y′
2

∴x′=x,y′=2y
又点P在
x2
4
+y2=1
上,∴
x′2
4
+y′2=1
,即
x2
4
+4y2=1

∴线段PD的中点M轨迹方程为
x2
4
+4y2=1

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则
直线x-y+m=0与已知椭圆方程联立,消去y可得
5
4
x2+2mx+m2-1=0

∴x1+x2=-
8m
5

∴y1+y2=x1+x2+2m=
2m
5

∴AB的中点坐标为(-
4m
5
m
5

∵R(0,1),且|RA|=|RB|,
m
5
-1
-
4
5
m
×1=-1

m=-
5
3
举一反三
若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有一个公共点,则k的取值范围为______.
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已知椭圆
x2
5
+
y2
4
=1
,过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点,若|AB|=
16


5
9
,求直线l的方程.
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方程x+y=6,x∈[3,4]和





 x=2+cost
 y=3-sint
 (t
为参数)对应的曲线(  )
A.只有一个公共点
B.有两个公共点
C.没有公共点
D.公共点的个数由参数t确定
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抛物线y2=4x上一动点P到直线l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1的距离之和的最小值是(  )
A.2B.3C.
11
5
D.
37
16
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已知直线l:y=2x-4被抛物线C:y2=2px(p>0)截得的弦长|AB|=3


5

(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)若抛物线C的焦点为F,求三角形ABF的面积.
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