已知椭圆4x2+y2=1及直线l:y=x+m.(Ⅰ)当m为何值时,直线l与椭圆有公共点?(Ⅱ)若直线l被椭圆截得的线段长为425,求直线的方程.(Ⅲ)若直线l与
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已知椭圆4x2+y2=1及直线l:y=x+m.(Ⅰ)当m为何值时,直线l与椭圆有公共点?(Ⅱ)若直线l被椭圆截得的线段长为425,求直线的方程.(Ⅲ)若直线l与
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆4x
2
+y
2
=1及直线l:y=x+m.
(Ⅰ)当m为何值时,直线l与椭圆有公共点?
(Ⅱ)若直线l被椭圆截得的线段长为
4
2
5
,求直线的方程.
(Ⅲ)若直线l与椭圆相交于A、B两点,是否存在m的值,使得
OA
•
OB
=0
?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
答案
(Ⅰ)把直线y=x+m代入4x
2
+y
2
=1得
5x
2
+2mx+m
2
-1=0 ①…(1分)
∴△=4m
2
-20(m
2
-1)=-16m
2
+20≥0
-
5
2
≤m≤
5
2
…(2分)
(Ⅱ)设直线与椭圆交于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)两点,
由①得
x
1
+
x
2
=-
2m
5
x
1
x
2
=
m
2
-1
5
,…(3分)
∴(x
1
+x
2
)
2
-4x
1
x
2
=
(-
2m
5
)
2
-
4(
m
2
-1)
5
=
-16
m
2
+20
25
…(4分)
∴
|AB|=
(1+k)
2
[
(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
]
=
2×
-16
m
2
+20
25
=
4
2
5
…(5分)
解得m=±
1
2
…(6分)
∴所求直线方程为y=x±
1
2
. …(7分)
(Ⅲ)设直线与椭圆交于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)两点,
由①得
x
1
+
x
2
=-
2m
5
x
1
x
2
=
m
2
-1
5
若存在m的值,使得
OA
•
OB
=0
,则有x
1
x
2
+y
1
y
2
=0…(8分)
y
1
y
2
=(
x
1
+m)(
x
2
+m)=
x
1
x
2
+m(
x
1
+
x
2
)+
m
2
=
4
m
2
-1
5
…(9分)
∴
m
2
-1
5
+
4
m
2
-1
5
=0
,解得 …(10分)
又由(1)直线和椭圆有公共点,需满足-
5
2
≤m≤
5
2
…(11分)
∵
10
5
<
5
2
∴存在
m=±
10
5
满足题意 …(12分)
举一反三
已知椭圆E中心在原点O,焦点在x轴上,其离心率e=
2
3
,过点C(-1,0)的直线l与椭圆E相交于A、B两点,且满足
AC
=2
CB
.
(Ⅰ)用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积;
(Ⅱ)当△OAB的面积最大时,求椭圆E的方程.
题型:不详
难度:
|
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点P为圆x
2
+y
2
=9上任意一点,过P作x轴的垂线,垂足为Q,点M在PQ上,且
PM
=2
MQ
,则点M的轨迹方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
2
+
y
2
=1
及直线l:y=x+m.
(1)当直线l与椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;
(2)若直线l过椭圆右焦点,并与椭圆交于A、B两点,求弦AB之长.
题型:不详
难度:
|
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过点P(-4,0)的直线l与曲线C:x
2
+2y
2
=4交于A,B;求AB中点Q的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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过抛物线y
2
=2x的对称轴上的定点M(m,0),(m>0),作直线AB交抛物线于A,B两点.
(1)试证明A,B两点的纵坐标之积为定值;
(2)若△OAB的面积的最小值为4,求m的值.
题型:不详
难度:
|
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