(Ⅰ)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),直线的方程为y=k(x+1) 由e==∴a2=3b2 故椭圆方程x2+3y2=3b2 …(1分) 设A(x1,y1)、B(x2,y2)),由=2, 得(-1-x1,-y1)=2(x2+1,y2) 可得 | x1+1=-2(x2+1) …① | y1=-2y2 …② |
| | …(2分) 由消去y整理(1+3k2)x2+6k2x+3(k2-b2)=0(3分) 由直线l与椭圆E相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点 ∴ | △=36k4-4(3k2+1)(3k2-3b2)>0 …③ | x1+x2=- …④ | x1x2= …⑤ |
| | …(4分) 而S△OAB=|y1-y2|=|-2y2-y2|=|y2|=|k(x2+1)|⑥…(6分) 由①④得:x2+1=-,代入⑥得:S△OAB=(k≠0) …(7分) (Ⅱ)因S△OAB==≤=,…(8分) 当且仅当k=±,S△OAB取得最大值,…(9分) 此时x1+x2=-1,又由①得=-1 ∴x1=1,x2=-2 …(10分) 将x1,x2及k2=代入⑤得3b2=5,满足△>0 …(11分) ∴椭圆方程为x2+3y2=5 …(12分) |