已知椭圆M的对称轴为坐标轴,且抛物线x2=-42y的焦点是椭圆M的一个焦点,又点A(1,2)在椭圆M上.(Ⅰ)求椭圆M的方程;(Ⅱ)已知直线l的方向向量为(1,
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已知椭圆M的对称轴为坐标轴,且抛物线x2=-42y的焦点是椭圆M的一个焦点,又点A(1,2)在椭圆M上.(Ⅰ)求椭圆M的方程;(Ⅱ)已知直线l的方向向量为(1,
题型:锦州二模
难度:
来源:
已知椭圆M的对称轴为坐标轴,且抛物线
x
2
=-4
2
y
的焦点是椭圆M的一个焦点,又点A
(1,
2
)
在椭圆M上.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)已知直线l的方向向量为
(1,
2
)
,若直线l与椭圆M交于B、C两点,求△ABC面积的最大值.
答案
(Ⅰ)由已知抛物线的焦点为
(0,-
2
)
,故设椭圆方程为
y
2
a
2
+
x
2
a
2
-2
=1
.
将点
A(1,
2
)
代入方程得
2
a
2
+
1
a
2
-2
=1
,整理得a
4
-5a
2
+4=0,
解得a
2
=4或a
2
=1(舍).
故所求椭圆方程为
y
2
4
+
x
2
2
=1
.(6分)
(Ⅱ)设直线BC的方程为
y=
2
x+m
,设B(x
1
,y
1
),C(x
2
,y
2
),
代入椭圆方程并化简得
4
x
2
+2
2
mx+
m
2
-4=0
,
由△=8m
2
-16(m
2
-4)=8(8-m
2
)>0,可得m
2
<8.(*)
由
x
1
+
x
2
=-
2
2
m,
x
1
x
2
=
m
2
-4
4
,
故
|BC|=
3
|
x
1
-
x
2
|=
3
•
16-2
m
2
2
.
又点A到BC的距离为
d=
|m|
3
,
故
S
△ABC
=
1
2
|BC|•d=
m
2
(16-2
m
2
)
4
≤
1
4
2
•
2
m
2
+(16-2
m
2
)
2
=
2
,
当且仅当2m
2
=16-2m
2
,即m=±2时取等号(满足*式)
所以△ABC面积的最大值为
2
.(12分)
举一反三
抛物线x
2
=ay(a>0)的准线l与y轴交于点P,若l绕点P以每秒
π
12
弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒钟后,恰与抛物线第一次相切,则t等于______.
题型:不详
难度:
|
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若直线y=kx-2与抛物线y
2
=8x交于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标是3,则|AB|=______.
题型:不详
难度:
|
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直线y=kx+1,当k变化时,直线被椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
截得的最大弦长是( )
A.4
B.2
C.
4
3
3
D.不能确定
题型:不详
难度:
|
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已知直线l:y=2x+m和椭圆
C:
x
2
4
+
y
2
=1
.
(1)m为何值时,l和C相交、相切、相离;
(2)m为何值时,l被C所截线段长为
20
17
.
题型:不详
难度:
|
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题型:不详
难度:
|
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