已知:三个定点A(-23,0),B(23,0),C(-13,0),动P点满足|AP|-|BP|=23,(1)求动点P的轨迹方程;(2)直线3x-3my-2=0截

已知:三个定点A(-23,0),B(23,0),C(-13,0),动P点满足|AP|-|BP|=23,(1)求动点P的轨迹方程;(2)直线3x-3my-2=0截

题型:不详难度:来源:
已知:三个定点A(-
2
3
,0),B(
2
3
,0),C(-
1
3
,0)
,动P点满足|AP|-|BP|=
2
3

(1)求动点P的轨迹方程;
(2)直线3x-3my-2=0截动点P的轨迹所得弦长为2,求m的值;
(3)是否存在常数λ,使得∠PBC=λ∠PCB,若存在,求λ的值,若不存在,并请说明理由.
答案
(1)∵三个定点A(-
2
3
,0),B(
2
3
,0),C(-
1
3
,0)
,动P点满足|AP|-|BP|=
2
3

|PA|-|PB|=
2
3
< |AB|=
4
3

∴动点P的轨迹是A、B为焦点的双曲线的右支…(1分)
设它的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1
,(x>a),





2a=
2
3
2c=
4
3
c2=a2+b2
,解得:





a2=
1
9
b2=
1
3

故所求方程为
x2
1
9
-
y2
1
3
=1.(x>0).…(4分)
(2)解法一:若m=0,则x=
2
3

此时y=±1,即弦长为2,满足题意.…(5分)
若m≠0,由





3x-3my-2=0
9x2-3y2=1
,消去y,得9x2-3(
2
3m
-
1
m
x)2=1

化简得:(27m2-9)x2+12x-3m2-4=0,
△=36×9m2(m2+1),x1x2=
-3m2-4
27m2-9



1+
1
m2


36×9m2(m2+1)
9|3m2-1|
=2

解得m=0,或m=±1.
∵m=±1时,x1x2<0不满足.
∴m=0…(7分)
解法二:设直线3x-3my-2=0与动点P的轨迹相交于Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),
∵直线3x-3my-2=0恒过双曲线的焦点B
∴由双曲线定义知|Q1Q2|=e(x1+x2-
1
3
)=2(x1+x2-
1
3
)=2.
x1+x2=
4
3

若m=0,则x1=x2=
2
3
,此时x1+x2=
4
3
满足.…(5分)
若m≠0,由





3x-3my-2=0
9x2-3y2=1
,消去y得9x2-3(
2
3m
-
1
m
x)2=1

化简得:(27m2-9)x2+12x-3m2-4=0,x1+x2=
12
9-27m2
=
4
3

解得m=0与m≠0矛盾.∴m=0…(7分)
(直接由图形得出m=0时,|Q1Q2|=2,得2分)
(3)当x=
2
3
时,|BP|=1,|BC|=1,
此时∠PCB=45°,∠PBC=90°.
猜想λ=2…(8分)
当x≠
2
3
时,设P(x,y),则y2=-3(
1
9
-x2)

且tan∠PCB=
y
x+
1
3

tan2∠PCB=
2(
y
x+
1
3
)
1-
y2
(x+
1
3
)
2
=
2y(x+
1
3
)
(x+
1
3
)
2
-y2
=
2y(x+
1
3
)
(x+
1
3
)
2
+3(
1
9
-x2)
=
2y
4
3
-2x
=
y
2
3
-x

tan∠PBC=-tan∠PBx=
y
x-
2
3
=
y
2
3
-x

∴tan2∠PCB=tan∠PBC,
又∵0<∠PBC<π,0<2<PBC<π,
∴2∠PCB=∠PBC,
即存在λ=2,
使得:∠PBC=λ∠PCB.…(10分)
举一反三
直线y=kx-k+1与椭圆
x2
9
+
y2
4
=1
的位置关系是(  )
A.相交B.相切C.相离D.不确定
题型:不详难度:| 查看答案
设中心在坐标原点的椭圆M与双曲线2x2-2y2=1有公共焦点,且它们的离心率互为倒数
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)过点A(2,0)的直线交椭圆M于P、Q两点,且满足OP⊥OQ,求直线PQ的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值是(  )
A.1B.1或3C.0D.1或0
题型:不详难度:| 查看答案
如果椭圆C和双曲线C′具有相同的焦点,且它们的离心率互为倒数,则称椭圆C是双曲线C′的“伴生”椭圆,据此,焦点在x轴上,以y=±x为渐近线,且焦点到渐近线距离为1的双曲线的“伴生”椭圆的方程是______.
题型:不详难度:| 查看答案
直线
x
4
+
y
3
=1
与椭圆
x2
16
+
y2
9
=1
相交于A、B两点,椭圆上的点P使△PAB的面积等于12,这样的点P共有(  )个.
A.1B.2C.3D.4
题型:不详难度:| 查看答案
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