设中心在坐标原点的椭圆M与双曲线2x2-2y2=1有公共焦点,且它们的离心率互为倒数(Ⅰ)求椭圆M的方程;(Ⅱ)过点A(2,0)的直线交椭圆M于P、Q两点,且满
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设中心在坐标原点的椭圆M与双曲线2x2-2y2=1有公共焦点,且它们的离心率互为倒数 (Ⅰ)求椭圆M的方程; (Ⅱ)过点A(2,0)的直线交椭圆M于P、Q两点,且满足OP⊥OQ,求直线PQ的方程. |
答案
(Ⅰ) 设椭圆M的方程为+=1(a>b>0) 则有 解得, ∴椭圆M的方程为+y2=1 (Ⅱ)当k不存在时,直线为x=2与椭圆无交点 当k存在时,设PQ:y=k(x-2) 代入+y2=1整理得:(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则有x1+x2=,x1x2= ∴y1y2= ∵OP⊥OQ, ∴y1y2+x1x2=0即=0 解得:k=± 所求直线PQ的方程为y=±(x-2) |
举一反三
直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值是( ) |
如果椭圆C和双曲线C′具有相同的焦点,且它们的离心率互为倒数,则称椭圆C是双曲线C′的“伴生”椭圆,据此,焦点在x轴上,以y=±x为渐近线,且焦点到渐近线距离为1的双曲线的“伴生”椭圆的方程是______. |
直线+=1与椭圆+=1相交于A、B两点,椭圆上的点P使△PAB的面积等于12,这样的点P共有( )个. |
设k<3,k≠0,则二次曲线-=1与+=1必有( )A.不同的顶点 | B.不同的准线 | C.相同的焦点 | D.相同的离心率 |
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给出下列曲线: ①4x+2y-1=0 ②x2+y2=3 ③+y2=1④-y2=1 其中与直线y=-2x-3有交点的所有曲线是( ) |
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