已知椭圆C:x23+y22=1与直线l:mx-y-m=0(1)求证:对于m∈R,直线l与椭圆C总有两个不同的交点;(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,若|AB

已知椭圆C:x23+y22=1与直线l:mx-y-m=0(1)求证:对于m∈R,直线l与椭圆C总有两个不同的交点;(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,若|AB

题型:不详难度:来源:
已知椭圆C:
x2
3
+
y2
2
=1
与直线l:mx-y-m=0
(1)求证:对于m∈R,直线l与椭圆C总有两个不同的交点;
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,若|AB|=
16
11


3
,求直线l的倾斜角.
答案
(1)证明:1、当m=0,直线方程y=1,与圆有两个交点,符合题意
2、当m≠0,将椭圆C:
x2
3
+
y2
2
=1
与直线l:mx-y-m=0联立得
(3m2+2)x2-6m2x+3m2-6=0
△=(6m22-4(3m2+2)×(3m2-6)=48m2+48>0,符合题意
∴对于m∈R,直线l与椭圆C总有两个不同的交点
(2)设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
则x1+x2=
6m2
3m2+2
x1•x2=
3m2-6
3m2+2
|AB|=


1+k2
|x1-x2|

=


1+k2


(x1+x2)2-4x1x2

=


1+m2


36m4
(3m2+2)2
-
12m2-24
3m2+2
=
16


3
11

解得m=±


3
∴l的倾斜角为
π
3
3
举一反三
已知A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线y=2x2上两个不同点,若x1x2=-
1
2
,且A、B两点关于直线y=x+m对称,试求m的值.
题型:不详难度:| 查看答案
抛物线y2=4x的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2,y1>0,y2<0)在抛物线上,且A,F,B共线,


|AB|
=
25
4

(1)求x1+x2的值;
(2)求直线AB的方程;
(3)求△AOB的面积.
题型:不详难度:| 查看答案
等轴双曲线x2-y2=a2与直线y=ax(a>0)没有公共点,则a的取值范围(  )
A.a=1B.0<a<1C.a>1D.a≥1
题型:不详难度:| 查看答案
直线y=
1
3
(x-
7
2
)与双曲线
x2
9
-y2=1的交点个数是(  )
A.0B.1C.2D.4
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上的点到右焦点F的最小距离是


2
-1,F到上顶点的距离为


2
,点C(m,0)是线段OF上的一个动点.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点,使得(


CA
+


CB
)⊥


BA
,并说明理由.
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