双曲线C:x2a2-y2b2=1上一点(2,3)到左,右两焦点距离的差为2.(1)求双曲线的方程;(2)设F1,F2是双曲线的左右焦点,P是双曲线上的点,若|P

双曲线C:x2a2-y2b2=1上一点(2,3)到左,右两焦点距离的差为2.(1)求双曲线的方程;(2)设F1,F2是双曲线的左右焦点,P是双曲线上的点,若|P

题型:宝山区模拟难度:来源:
双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
上一点(2,


3
)
到左,右两焦点距离的差为2.
(1)求双曲线的方程;
(2)设F1,F2是双曲线的左右焦点,P是双曲线上的点,若|PF1|+|PF2|=6,求△PF1F2的面积;
(3)过(-2,0)作直线l交双曲线C于A,B两点,若


OP
=


OA
+


OB
,是否存在这样的直线l,使OAPB为矩形?若存在,求出l的方程,若不存在,说明理由.
答案
(1)∵双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
上一点(2,


3
)
到左,右两焦点距离的差为2.
∴a=1,双曲线方程为x2-
y2
b2
=1

把点(2,


3
)
2,


3
)代入,得b=1.
∴双曲线方程为:x2-y2=1.
(2)设P在第一象限,则





|PF1| -|PF2|=2
|PF1| +|PF2|=6

解得|PF1|=4,|PF2|=2,
cos∠F1PF2=
3
4

sin∠F1PF=


7
4

∴△PF1F2的面积S=


7

(3)若直线斜率存在,设为y=k(x+2),代入x2-y2=1,
得(1-(1-k2)x2-4k2x-4k2-1=0(k≠±1),
若平行四边形OAPB为矩形,则OA⊥OB,
∴x1x2+y1y2=0,
k2+1
k2-1
=0
无解.
若直线垂直x轴,则A(-2,


3
),B(-2,


3
)不满足.
故不存在直线l,使OAPB为矩形.
举一反三
已知直线l:y=ax+1与双曲线C:3x2-y2=1相交于A、B两点.
(1)求实数a的取值范围;
(2)当实数a取何值时,以线段AB为直径的圆经过坐标原点.
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已知椭圆
x2
4
+
y2
1
=1
,点M(2,3)过M点引直线交椭圆于A、B两点,求弦AB的中点P的轨迹方程.
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曲线y=ax2与直线y=kx+b相交于两点,它们的横坐标为x1、x2,而x3是直线与x轴交点的横坐标,那么(  )
A.x3=x1+x2B.x3=
1
x1
+
1
x2
C.x1x3=x2x3+x1x2D.x1x2=x2x3+x3x1
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已知椭圆:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,以F1为顶点,F2为焦点的抛物线经过椭圆短轴的两端点,则a:b=______.
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过抛物线y2=4x的焦点作直线与此抛物线交于P,Q两点,那么线段PQ中点的轨迹方程是______.
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