已知:点P与点F(2,0)的距离比它到直线x+4=0的距离小2,若记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程. (2)若直线L与曲线C相交于A、B两点,且
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已知:点P与点F(2,0)的距离比它到直线x+4=0的距离小2,若记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程. (2)若直线L与曲线C相交于A、B两点,且OA⊥OB.求证:直线L过定点,并求出该定点的坐标. |
答案
(1)解法(一):点P与点F(2,0)的距离比它到直线x+4=0的距离小2, 所以点P与点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等. 由抛物线定义得:点p在以F为焦点直线x+2=0为准线的抛物线上, 抛物线方程为y2=8x. 解法(二):设动点P(x,y),则=|x+4|-2 当x≤-4时,(x-2)2+y2=(-x-6)2,化简得:y2=8(x+2),显然x≥-2,但x≤-4,故此时曲线不存在; 当x>-4时,(x-2)2+y2=(x+2)2,化简得:y2=8x. (2)设直线L:y=kx+b与抛物线的交点为(x1,y1),(x2,y2) ①若L斜率存在,设斜率为k,则,整理后得ky2-8y+8b=0,且y1y2=,又,得x1x2== 由OA⊥OB,得•=-1,即=-1,b=-8k 直线为y=k(x-8),所以L过定点(8,0); ②若L斜率不存在,则OA的斜率为1,,得x=8,即直线L过(8,0); 综上:直线恒过定点(8,0). |
举一反三
已知抛物线y2=4x,椭圆经过点M(0,),它们在x轴上有共同焦点,椭圆的对称轴是坐标轴. (1)求椭圆的方程; (2)若P是椭圆上的点,设T的坐标为(t,0)(t是已知正实数),求P与T之间的最短距离. |
双曲线C:-=1上一点(2,)到左,右两焦点距离的差为2. (1)求双曲线的方程; (2)设F1,F2是双曲线的左右焦点,P是双曲线上的点,若|PF1|+|PF2|=6,求△PF1F2的面积; (3)过(-2,0)作直线l交双曲线C于A,B两点,若=+,是否存在这样的直线l,使OAPB为矩形?若存在,求出l的方程,若不存在,说明理由. |
已知直线l:y=ax+1与双曲线C:3x2-y2=1相交于A、B两点. (1)求实数a的取值范围; (2)当实数a取何值时,以线段AB为直径的圆经过坐标原点. |
已知椭圆+=1,点M(2,3)过M点引直线交椭圆于A、B两点,求弦AB的中点P的轨迹方程. |
曲线y=ax2与直线y=kx+b相交于两点,它们的横坐标为x1、x2,而x3是直线与x轴交点的横坐标,那么( )A.x3=x1+x2 | B.x3=+ | C.x1x3=x2x3+x1x2 | D.x1x2=x2x3+x3x1 |
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