已知抛物线y2=4x,椭圆经过点M(0,3),它们在x轴上有共同焦点,椭圆的对称轴是坐标轴.(1)求椭圆的方程;(2)若P是椭圆上的点,设T的坐标为(t,0)(

已知抛物线y2=4x,椭圆经过点M(0,3),它们在x轴上有共同焦点,椭圆的对称轴是坐标轴.(1)求椭圆的方程;(2)若P是椭圆上的点,设T的坐标为(t,0)(

题型:不详难度:来源:
已知抛物线y2=4x,椭圆经过点M(0,


3
)
,它们在x轴上有共同焦点,椭圆的对称轴是坐标轴.
(1)求椭圆的方程;
(2)若P是椭圆上的点,设T的坐标为(t,0)(t是已知正实数),求P与T之间的最短距离.
答案
(1)抛物线的焦点为(1,0)…(2分)
设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,则a2-b2=1,b=


3
…(4分)
∴a2=4,b2=3
∴椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1
…(6分)
(2)设P(x,y),则|PT|=


(x-t)2+y2
=


(x-t)2+3(1-
x2
4
)

=


(x-4t)2+12-12t2
4
(-2≤x≤2)…(8分)
①当0<t≤
1
2
时,x=4t,即P(4t,±


3-3t2
)
时,|PT|min=


3-3t2

②当t>
1
2
时,x=2,即P(2,0)9时,|PT|min=|t-2|10;
综上,|PT|min=







3-3t2
,0<t≤
1
2
|t-2|,t>
1
2
…(14分)
(注:也可设P(2cosθ,


3
sinθ)(0<θ≤2π)
解答,参照以上解答相应评分)
举一反三
双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
上一点(2,


3
)
到左,右两焦点距离的差为2.
(1)求双曲线的方程;
(2)设F1,F2是双曲线的左右焦点,P是双曲线上的点,若|PF1|+|PF2|=6,求△PF1F2的面积;
(3)过(-2,0)作直线l交双曲线C于A,B两点,若


OP
=


OA
+


OB
,是否存在这样的直线l,使OAPB为矩形?若存在,求出l的方程,若不存在,说明理由.
题型:宝山区模拟难度:| 查看答案
已知直线l:y=ax+1与双曲线C:3x2-y2=1相交于A、B两点.
(1)求实数a的取值范围;
(2)当实数a取何值时,以线段AB为直径的圆经过坐标原点.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆
x2
4
+
y2
1
=1
,点M(2,3)过M点引直线交椭圆于A、B两点,求弦AB的中点P的轨迹方程.
题型:不详难度:| 查看答案
曲线y=ax2与直线y=kx+b相交于两点,它们的横坐标为x1、x2,而x3是直线与x轴交点的横坐标,那么(  )
A.x3=x1+x2B.x3=
1
x1
+
1
x2
C.x1x3=x2x3+x1x2D.x1x2=x2x3+x3x1
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,以F1为顶点,F2为焦点的抛物线经过椭圆短轴的两端点,则a:b=______.
题型:不详难度:| 查看答案
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