(2013•湖北)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,直线PC⊥平面ABC,E,F分别是PA,PC的中点.(1)记平面BEF与平面ABC的交线为
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(2013•湖北)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,直线PC⊥平面ABC,E,F分别是PA,PC的中点.(1)记平面BEF与平面ABC的交线为
题型:不详
难度:
来源:
(2013•湖北)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,直线PC⊥平面ABC,E,F分别是PA,PC的中点.
(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明;
(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足
.记直线PQ与平面ABC所成的角为θ,异面直线PQ与EF所成的角为α,二面角E﹣l﹣C的大小为β.求证:sinθ=sinαsinβ.
答案
(1)l∥平面PAC,见解析 (2)见解析
解析
(1)直线l∥平面PAC,证明如下:
连接EF,因为E,F分别是PA,PC的中点,所以EF∥AC,
又EF⊄平面ABC,且AC⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.
而EF⊂平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l.
因为l⊄平面PAC,EF⊂平面PAC,所以直线l∥平面PAC.
(2)(综合法)如图1,连接BD,由(1)可知交线l即为直线BD,且l∥AC.
因为AB是⊙O的直径,所以AC⊥BC,于是l⊥BC.
已知PC⊥平面ABC,而l⊂平面ABC,所以PC⊥l.
而PC∩BC=C,所以l⊥平面PBC.
连接BE,BF,因为BF⊂平面PBC,所以l⊥BF.
故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角,即∠CBF=β.
由
,作DQ∥CP,且
.
连接PQ,DF,因为F是CP的中点,CP=2PF,所以DQ=PF,
从而四边形DQPF是平行四边形,PQ∥FD.
连接CD,因为PC⊥平面ABC,所以CD是FD在平面ABC内的射影,
故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角,即∠CDF=θ.
又BD⊥平面PBC,有BD⊥BF,知∠BDF=α,
于是在Rt△DCF,Rt△FBD,Rt△BCF中,分别可得
,
从而
.
(2)(向量法)如图2,由
,作DQ∥CP,且
.
连接PQ,EF,BE,BF,BD,由(1)可知交线l即为直线BD.
以点C为原点,向量
所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设CA=a,CB=b,CP=2c,则有
.
于是
,
∴
=
,从而
,
又取平面ABC的一个法向量为
,可得
,
设平面BEF的一个法向量为
,
所以由
可得
.
于是
,从而
.
故
,即sinθ=sinαsinβ.
举一反三
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点,△DAB ≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=
,连接CE并延长交AD于F.
(1)求证:AD⊥平面CFG;
(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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若
,
,点
在
轴上,且
,则点
的坐标为
.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥
中,底面
是直角梯形,
,
,
平面
平面
,若
,
,
,
,且
.
(1)求证:
平面
;
(2)设平面
与平面
所成二面角的大小为
,求
的值.
题型:不详
难度:
|
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如图,在梯形ABCD中,AB//CD,AD=DC=CB=a,
,平面
平面ABCD,四边形ACFE是矩形,AE=a.
(1)求证:
平面ACFE;
(2)求二面角B—EF—D的平面角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,且PC⊥平面ABCD,PC=AC=2,E是PA的中点。
(1)求证:AC⊥平面BDE;
(2)若直线PA与平面PBC所成角为30°,求二面角P-AD-C的正切值;
(3)求证:直线PA与平面PBD所成的角φ为定值,并求sinφ值。
题型:不详
难度:
|
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