已知数列{an}是首项为a1=14,公比q=14的等比数列.设bn+2=3log14an(n∈N*),数列{cn}满足cn=1bn•bn+1.(Ⅰ)求证:数列{
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已知数列{an}是首项为a1=14,公比q=14的等比数列.设bn+2=3log14an(n∈N*),数列{cn}满足cn=1bn•bn+1.(Ⅰ)求证:数列{
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}是首项为a
1
=
1
4
,公比q=
1
4
的等比数列.设
b
n
+2=3lo
g
1
4
a
n
(n∈N
*
),数列{c
n
}满足
c
n
=
1
b
n
•
b
n+1
.
(Ⅰ)求证:数列{b
n
}成等差数列;
(Ⅱ)求数列{c
n
}的前n项和S
n
.
答案
证明:(Ⅰ)∵数列{a
n
}是首项为a
1
=
1
4
,公比q=
1
4
的等比数列,
∴a
n
=
1
4
•
(
1
4
)
n-1
=
(
1
4
)
n
,
∵b
n
+2=3
log
1
4
a
n
=3
log
1
4
(
1
4
)
n
=3n(n∈N
*
),
∴b
n
=3n-2;
∴b
n+1
-b
n
=3(n+1)-2-(3n-2)=3,
∴数列{b
n
}是以1为首项,3为公差的成等差数列.
(Ⅱ)∵c
n
=
1
b
n
•b
n+1
=
1
(3n-2)[3(n+1)-2]
=
1
3
(
1
3n-2
-
1
3n+1
),
∵数列{c
n
}的前n项和为S
n
,
∴S
n
=c
1
+c
2
+…+c
n
=
1
3
[(1-
1
4
)+(
1
4
-
1
7
)+…+(
1
3n-2
-
1
3n+1
)]
=
1
3
(1-
1
3n+1
)
=
n
3n+1
.
举一反三
已知数列{a
n
}中,a
1
=2,a
n+1
-2a
n
=0,b
n
=log
2
a
n
,那么数列{b
n
}的前10项和等于( )
A.130
B.120
C.55
D.50
题型:东城区一模
难度:
|
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已知正项数列满足4S
n
=(a
n
+1)
2
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设b
n
=
1
a
n
a
n+1
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}中a
1
=1,a
2
=2,数列{a
n
}的前n项和为S
n
,当整数n>1时,S
n+1
+S
n-1
=2(S
n
+S
1
)都成立,则数列{
1
a
n
a
n+1
}的前n项和为______.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,a
5
=5,S
5
=15,则数列
{
1
a
n
a
n+1
}
的前2013项和为______.
题型:不详
难度:
|
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已知等比数列{a
n
}的公比为q(q≠1)的等比数列,且a
2011
,a
2013
,a
2012
成等差数列.
(Ⅰ)求公比q的值;
(Ⅱ)设{b
n
}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为S
n
,当n≥2时,比较S
n
与b
n
的大小,并说明理由.
题型:不详
难度:
|
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