已知椭圆E：x2a2+y23=1(a＞3)的离心率e=12．直线x=t（t＞0）与曲线E交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C．（1）求椭圆E的

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已知椭圆E：x2a2+y23=1(a＞3)的离心率e=12．直线x=t（t＞0）与曲线E交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C．（1）求椭圆E的

题型：不详难度：来源：
已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
3
=1(a＞


3
)的离心率e=
1
2
．直线x=t（t＞0）与曲线E交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且△ABC的面积为


5
2
，求圆C的标准方程．
答案
（1）∵椭圆E：
x2
a2
+
y2
3
=1(a＞


3
)的离心率e=
1
2
，∴


a2-3
a
=
1
2
．解得a=2．
∴椭圆E的方程为
x2
4
+
y2
3
=1．．…（4分）
（2）依题意，圆心为C（t，0），（0＜t＜2）．
由





x=t
x2
4
+
y2
3
=1l
得y2=
12-3t2
4
．∴圆C的半径为r=


12-3t2
2
．
∵圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d=t，
∴0＜t＜


12-3t2
2
，即0＜t＜
2


21
7
．
∴弦长|AB|=2


r2-d2
=2


12-3t2
4
-t2
=


12-7t2
．
∴△ABC的面积S=
1
2
•t


12-7t2
=


5
2
．∴t=1或


5
7

∴圆C的标准方程为(x-1)2+y2=
9
4
或(x-


5
7
)2+y2=
69
28
． …（13分）
举一反三
已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-


3
，0)，右顶点为D（2，0），设点A(1，
1
2
)．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（II）过原点O且斜率为k（k＜0）的直线l交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值及此时直线l的方程．
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以椭圆
x2
9
+
y2
25
=1长轴两个端点为焦点，准线过椭圆焦点的双曲线的渐近线的斜率是______．
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设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F1（-2，0），左准线l1与x轴交于点N（-3，0），过N点作直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若以AB为直径的圆过点F1，试求直线l的方程．
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附加题：
设A、B是抛物线C：y2=2px（P＞0）上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且α+β为定值θ（0＜θ＜π）时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．
（注：实验班必做，普通班选做）
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双曲线的离心率等于


5
2
，且与椭圆
x2
9
+
y2
4
=1有公共焦点，求此双曲线的方程．
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