抛物线y2=2px，（p＞0）与直线y=x+1相切，抛物线的焦点为F，AB和CD为过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，中点分别为M和N．（1）求抛物线的方程；（2
题型：不详难度：来源：
抛物线y2=2px，（p＞0）与直线y=x+1相切，抛物线的焦点为F，AB和CD为过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，中点分别为M和N．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：则直线MN必过定点P，并求出点P的坐标． |
答案
（1）由得，y2-2py+2p=0
∵抛物线y2=2px，（p＞0）与直线y=x+1相切，∴△=0
解得，p=2，∴抛物线的方程为y2=4x
（2）证明：设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4）
把直线AB：y=k（x-1）代入y2=4x，得
k2x2-（2k2+4）x+k2=0，∴x3==1+，y3=k（x3-1）=
同理可得，x4=1+2k2，y4=-2k
∴kMN==
∴直线MN为y-=（x-1-），即y=（x-3），过定点P（3，0）． |
举一反三
设点P为抛物线C：y=（x+1）2+2上的点，且抛物线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为（ ）| A．[，1] | B．[0，1] | C．[-1，0] | D．[-1，-] |
|
平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，-2），点C满足 =α+β，其中α、β∈R，且α-2β=1
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与椭圆+=1(a＞b＞0)交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：+为定值；
（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率不大于，求椭圆长轴长的取值范围． |
若椭圆C1：+=1（a＞b＞0）过点（2，1），离心率为，F1，F2分别为其左、右焦点．
（Ⅰ）若点P与F1，F2的距离之比为，求直线x-y+=0被点P所在的曲线C2截得的弦长；
（Ⅱ） 设A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点，Q为C1上异于A1，A2的任意一点，直线A1Q交C1的右准线于点M，直线A2Q交C1的右准线于点N，求证MF2⊥NF2． |
| 已知双曲线-=1的准线过椭圆+=1的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是______． |
| 抛物线的焦点为椭圆+=1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为______． |
最新试题
热门考点