已知定点A(0,2),B(0,-2),C(2,0),动点P满足:AP•BP=m|pc|2(I)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型;(II)当m=2时,

已知定点A(0,2),B(0,-2),C(2,0),动点P满足:AP•BP=m|pc|2(I)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型;(II)当m=2时,

题型:大连二模难度:来源:
已知定点A(0,2),B(0,-2),C(2,0),动点P满足:


AP


BP
=m|


pc
|2

(I)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型;
(II)当m=2时,设点P(x,y)(y≥0),求
y
x-8
的取值范围.
答案
(Ⅰ)设动点的坐标为P(x,y),则


AP
=(x,y-2),


BP
=(x,y+2),


PC
=(2-x,-y)


AP


BP
=m|


PC
|2
(x,y-2)•(x,y+2)=m(


(2-x)2+(-y)2
)2

∴x2+y2-4=m[(x-2)2+y2]
即(1-m)x2+(1-m)y2+4mx-4m-4=0,
若m=1,则方程为x=2,表示过点(2,0)且平行于y轴的直线;
若m≠1,则方程化为:(x-
2m
m-1
)2+y2=(
2
m-1
)2
,表示以(
2m
m-1
,0)为圆心,以
2
|1-m|
 为半径的圆;   
(Ⅱ)当m=2时,方程化为(x-4)2+y2=4;
y
x-8
=k
,则y=kx-8k,圆心(4,0)到直线y=kx-8k的距离d=
|4k-8k|


k2+1
=2
时,
解得k=±


3
3
,又y≥0,所以点P(x,y)所在图形为上半个圆(包括与x轴的两个交点),
故直线与半圆相切时k=-


3
3

当直线过x轴上的两个交点时知k=0;
因此
y
8-x
的取值范围是[-


3
3
,0]
举一反三
过x轴上动点A(a,0)引抛物线y=x2+1的两条切线AP、AQ,切点分别为P、Q
(I)若切线AP,AQ的斜率分别是k1,k2,求证:k1,k2为定值;
(Ⅱ)求证:直线PQ过定点,并求出定点的坐标(Ⅲ)要使
SAPQ


|PQ|
最小,求


AQ


AP
的值
题型:不详难度:| 查看答案
在抛物线y2=16x内,通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是______.
题型:不详难度:| 查看答案
设双曲线C:
x2
2
-y2=1
的左、右顶点分别为A1,A2垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点p,Q.
(1)若直线m与x轴正半轴的交点为T,且


A1P


A2Q
=1
,求点T的坐标;
(2)求直线A1P与A2Q的交点M的轨迹E的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的两个焦点,点G与F2关于直线l:x-2y+4=0对称,且GF1与l的交点P在椭圆上.
(I)求椭圆方程;
(II)若P、M(x1,y1),N(x2,y2)是椭圆上的不同三点,直线PM、PN的倾斜角互补,问直线MN的斜率是否是定值?如果是,求出该定值,如果不是,说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
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