已知点A(-1,0)、B(1,0)和动点M满足:∠AMB=2θ,且|AM|•|BM|cos2θ=3,动点M的轨迹为曲线C,过点B的直线交C于P、Q两点.(1)求
题型:襄阳模拟难度:来源:
已知点A(-1,0)、B(1,0)和动点M满足:∠AMB=2θ,且|AM|•|BM|cos2θ=3,动点M的轨迹为曲线C,过点B的直线交C于P、Q两点. (1)求曲线C的方程; (2)求△APQ面积的最大值. |
答案
(1)设M(x,y),在△MAB中,|AB|=2,∠AMB=2θ, 由余弦定理可得|AM|2+|BM2|-2|AM|•|BM|cos2θ=4, 整理变形可得|AM|+|BM|=4, 因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,a=2,c=1 ∴曲线C的方程为+=1 (2)设直线PQ方程为x=my+1(m∈R)由得:(3m2+4)y2+6my-9=0 显然,方程①的△>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则有S=×2×|y1-y2|=|y1-y2| y1+y2=-,y1y2=- (y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=48× 令t=3m2+3,则t≥3,(y1-y2)2= 由于函数y=t+在[3,+∞)上是增函数,∴t+≥ 故(y1-y2)2≤9,即S≤3 ∴△APQ的最大值为3 |
举一反三
已知抛物线的顶点在坐标原点O,焦点F在x正半轴上,倾斜角为锐角的直线l过F点.设直线l与抛物线交于A、B两点,与抛物线的准线交于M点,=λ,其中λ>0 (I)若λ=1,求直线l的斜率; (II)若点A、B在x轴上的射影分别为A1、B1,且||,||,2||成等差数列,求λ的值. |
以双曲线4x2-y2=4的中心为顶点,右焦点为焦点的抛物线方程是( )A.y2=2x | B.y2=2x | C.y2=4x | D.y2=4x |
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已知定点A(0,2),B(0,-2),C(2,0),动点P满足:•=m||2 (I)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型; (II)当m=2时,设点P(x,y)(y≥0),求的取值范围. |
以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①设A、B为两个定点,k为非零常数,若题型:PA|-|PB难度:| =+,则动点P的轨迹为椭圆; ③抛物线x=ay 2(a≠0)的焦点坐标是 (,0); ④曲线 -=1与曲线 +=1(λ<35且λ≠10)有相同的焦点. 其中真命题的序号为______写出所有真命题的序号. |
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过x轴上动点A(a,0)引抛物线y=x2+1的两条切线AP、AQ,切点分别为P、Q (I)若切线AP,AQ的斜率分别是k1,k2,求证:k1,k2为定值; (Ⅱ)求证:直线PQ过定点,并求出定点的坐标(Ⅲ)要使最小,求•的值 |