已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左.右焦点为F1、F2,离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴.y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左.右焦点为F1、F2,离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴.y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个
题型:湖南
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左.右焦点为F
1
、F
2
,离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴.y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F
1
关于直线l的对称点,设
AM
=λ
AB
.
(Ⅰ)证明:λ=1-e
2
;
(Ⅱ)确定λ的值,使得△PF
1
F
2
是等腰三角形.
答案
(Ⅰ)因为A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分别是(-
a
e
,0)(0,a).
由
y=ex+a
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
得
x=-c
y=
b
2
a
.这里c=
a
2
+
b
2
.
所以点M的坐标是(-c,
b
2
a
).由
AM
=λ
AB
得(-c+
a
e
,
b
2
a
)=λ(
a
e
,a).
即
a
e
-c=λ
a
e
b
2
a
=λa
.解得λ=1-e
2
.
(Ⅱ)因为PF
1
⊥l,所以∠PF
1
F
2
=90°+∠BAF
1
为钝角,
要使△PF
1
F
2
为等腰三角形,必有|PF
1
|=|F
1
F
2
|,即
1
2
|PF
1
|=c.
设点F
1
到l的距离为d,
由
1
2
|PF
1
|═d=
|e(-c)+0+a|
1+
e
2
=
|a-ec|
1+
e
2
=c,
得
1-
e
2
1+
e
2
=e.
所以e
2
=
1
3
,于是λ=1-e
2
=
2
3
.
即当λ=
2
3
时,△PF
1
F2为等腰三角形.
举一反三
已知点P的坐标是(-1,3),F是椭圆
x
2
16
+
y
2
12
=1
的右焦点,点Q在椭圆上移动,
|QF|+
1
2
|PQ|
的最小值是( )
A.8
B.9
C.10
D.11
题型:崇文区一模
难度:
|
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已知点P是双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
上除顶点外的任意一点,F
1
、F
2
分别为左、右焦点,c为半焦距,△PF
1
F
2
的内切圆与F
1
F
2
切于点M,则|F
1
M|•|F
2
M|=______.
题型:东城区模拟
难度:
|
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椭圆C与椭圆
(x-3)
2
9
+
(y-2)
2
4
=1
关于直线x+y=0对称,椭圆C的方程是( )
A.
(x+2)
2
4
+
(y+3)
2
9
=1
B.
(x-2)
2
9
+
(y-3)
2
4
=1
C.
(x+2)
2
9
+
(y+3)
2
4
=1
D.
(x-2)
2
4
+
(y-3)
2
9
=1
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知C
1
的极坐标方程为
ρcos(θ-
π
4
)=1
,M,N分别为C
1
在直角坐标系中与x轴,y轴的交点.曲线C
2
的参数方程为
x=
t
-
1
t
y=4-(t+
1
t
)
(t为参数,且t>0),P为M,N的中点.
(1)将C
1
,C
2
化为普通方程;
(2)求直线OP(O为坐标原点)被曲线C
2
所截得弦长.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点为B(0,-1),且其右焦点到直线
x-y+2
2
=0
的距离为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在斜率为k(k≠0),且过定点
Q(0,
3
2
)
的直线l,使l与椭圆交于两个不同的点M、N,且|BM|=|BN|?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
题型:南充一模
难度:
|
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