椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点P到两焦点的距离的和为6,离心率为223,A、B分别是椭圆的左右顶点.(1)求椭圆的标准方程;(2)设C(x,y
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椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点P到两焦点的距离的和为6,离心率为223,A、B分别是椭圆的左右顶点.(1)求椭圆的标准方程;(2)设C(x,y
题型:不详
难度:
来源:
椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
上任一点P到两焦点的距离的和为6,离心率为
2
2
3
,A、B分别是椭圆的左右顶点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设C(x,y)(0<x<a)为椭圆上一动点,D为C关于y轴的对称点,四边形ABCD的面积为S(x),设f(x)=
[S(x)
]
2
x+3
,求函数f(x)的最大值.
答案
(1)依题意,P到两焦点的距离的和为6,离心率为
2
2
3
,
∴2a=6,e=
c
a
=
2
2
3
,
∴a=3,c=2
2
∴
b=
a
2
-
c
2
=1
∴椭圆标准方程为
x
2
9
+
y
2
=1
;
(2)依题意,点D(-x,y)(0<x<3)
由点C在椭圆
x
2
9
+
y
2
=1
上得
y
2
=1-
x
2
9
,且S(x)=
1
2
(6+2x)•|y|
∴f(x)=
[S(x)
]
2
x+3
=(x+3)(
1-
x
2
9
)=
-
1
9
x
3
-
1
3
x
2
+x+3
(0<x<3)
∴f′(x)=-
1
3
(x-1)(x+3)
令f′(x)>0,则-3<x<1,
∵0<x<3,∴0<x<1,∴f(x)在(0,1)上单调递增;
令f′(x)<0,则x<-3或x>1,
∵0<x<3,∴1<x<3,∴f(x)在(1,3)上单调递减,
∴f(x)在x=1处取得唯一的极大值,同时也是最大值,
∴f(x)
max
=f(1)=
32
9
.
举一反三
斜率为1的直l与椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
相交于A,B两点,则|
AB
|的最大值为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
以
y
2
12
-
x
2
4
=1
的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
的离心率为
1
2
,则双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
的离心率为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
椭圆
X
2
25
+
Y
2
9
=1
上不同三点
A(
x
1
,
y
1
),B(4,
9
5
),C(
x
2
,
y
2
)
与焦点F(4,0)的距离成等差数列.
(1)求证x
1
+x
2
=8;
(2)若线段的垂直平分线与轴的交点为,求直线的斜率.
题型:不详
难度:
|
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抛物线y
2
=2px(p>0)与双曲线x
2
-y
2
=1相交的一个交点为M,双曲线的两焦点分别为F
1
、F
2
,若
M
F
1
•M
F
2
=
5
4
,
(I)证明:M点在F
1
、F
2
为焦点的椭圆上;
(II)求抛物线方程.
题型:不详
难度:
|
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